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目录 一、标记法和准备初步 1 二、弧长的第一变分公式 4 三、指数图形和正规坐标 7 四、Hopf-Rinow定理 11 五、曲率张量和Jacobi场 14 六、共轭点 18 七、弧长的第二变分公式 21 八、子空间和第二基本型 23 九、基本指数引理 25 十、Ricci曲率及Myers和Bonnet 定理 29 十一、Rauch 比较定理 31 十二、Cartan-Hadamard定理 37 十三、Cartan-Ambrose-Hicks 定理 39 十四、常数曲率空间 43 致谢 45 参考书目 46 论文摘要 黎曼几何是德国数学家黎曼于19世纪中期提出的一种新的几何理论，这种理论摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，并在近代数学和物理学中有着非常重要的应用。JEFF CHEEGER和DAVID G. EBIN 所著书“Comparison Theorems in Riemannian Geometry从黎曼度量及联络出发，介绍了黎曼流形研究中的各种基本概念和应用，以测地线的研究为重点讨论了各种形式的比较定理和Morse指数定理。这篇论文即对 “Comparison Theorems in Riemannian Geometry的第一章进行了翻译，内容包含了黎曼几何的一些基本概念，如黎曼联络、弧长、测地线、Jacob场、弧长的变分、曲率张量、共轭点等，及一些关于这些概念的运用比较广泛的结论，如Hopf-Rinow 定理、基本指数定理、Rauch 比较定理、Cartan-Hadamard 定理等，这些基本定理是讨论各种形式的比较定理和Morse指数定理一、标记法和准备初步 首先定义一些基本概念并列出一些基本知识。指一个光滑无限维 的联络，是它的切丛。指有维。或是上的光滑线性向量空间， 上光滑函数的环。我们以一个小写字母表示一点处的切向量，以相应的大写字母表示向量场的延伸部分。 设，是上的一个对称正定型且满足对每个，，函数包含于，这样的矩阵被称为黎曼矩阵，指 。 一个“仿射联络”是一个双线性映射： ， 它有如下性质：， （1.1a） ， （1.1b） ， 我们称是在方向上的“共变导数”。 黎曼几何基本定理说明对于任何黎曼矩阵，都存在唯一一个仿射联络叫做“黎曼联络”。它有如下性质： （1.2a） ， （1.2b） ， 指Lie支架，。（1.2a）是仿射联络和矩阵之间兼容的一个条件，（1.2b）是联络本身的一个对称性条件。（1.2b）中设定的与0相等的量叫做联络的挠率。它是型（1，2）的张量。所以基本定理可以理解为总有一个挠率自由的联络与任意给定的矩阵兼容。 下面我们来证明该定理。为表唯一性，设，由（1.2a，b）决定。由（1.2a）式，得 ， ， ， 将以上第一与第二式相加，然后减去第三式，运用（1.2b），得： 。 相反地，如果用这个方程去定义，则可以得到一个联络满足（1.2a）和（1.2b）。 由（1.1a，b）易见取决于和。如果是一个1-型，可以通过以下等式定义： ， 通过延长为张量场σ定义了一个诱导。 设是一条光滑曲线，是的切线。对于任一，存在唯一一个满足和的向量，称是一个“平行域”，是沿着的“平行转移”。易见沿着，有光滑向量场是的标准正交基。以上等式亦可以写成一个常微分方程的一次系统，如下 ， 所以 。 常微分方程的存在定理说明可以解出。， ，由 (1.2a) 得是一个等距映射。 设是一个光滑映射，有一个联络。指定是一个沿着 的向量场， ，是邻域里的一个标架。记 ， 称是光滑的如果函数集是光滑的。 如果，定义是沿着方向的共变导数， 易见，该定义与的选取无关。设是黎曼型，是黎曼联络，如果，是沿着的向量场，则易得 (?) 。 同样， 是中的向量场，那么， 的向量场，且 (??) 。 沿着的向量场同样叫诱导丛的截面。我们称是“诱导联络”。在证明第一和第二变分公式时用和。但是方便起见，我们不用标记，而直接假设沿着的向量场定义在上。 二、弧长的第一变分公式 设是一个黎曼联络，分段光滑连续的曲线的弧长为。由定义， 同样，按规定的定义与特定参数的选择无关。如果定义两点之间的距离是它们之间所有曲线弧长的下确界，那么就是一个矩阵空间。设由到的距离是，当设定是一个矩阵空间，若 ，则。设 是一个局部坐标系，是其原点，指集合。设是给定的黎曼矩阵，是Euclidean矩阵。处处对角化成， 是Br(p)-上的正