高中数学第1章节集合与函数概念函数的奇偶性演示课件新人教a版必须修读2.pptVIP

1．3.2　奇 偶 性 1．函数的奇偶性 (1)定义 ①奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有 ，则这个函数叫做奇函数． ②偶函数：设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有 ，则这个函数叫做偶函数． (2)性质 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． 如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数． (3)判断奇偶性 ①f(x)＝|x|； ③f(x)＝x2　(x≥1)； ④f(x)＝|x＋1|－|x－1|. [答案]　①偶　②既是奇函数，又是偶函数　③非奇非偶　④奇 2．用定义判断函数奇偶性的步骤是： (1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数． 本节重点：奇偶函数的概念及图象的对称特征． 本节难点：利用函数奇偶性的概念和图象的对称性，证明或判断函数的奇偶性． 对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点： ①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y＝f(x)是否具有奇偶性，不仅考察f(x)与f(－x)之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称． ③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)＝0，但f(x)＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件． ④奇函数y＝f(x)若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0. ⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性；偶函数在区间[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性(ab0)． ⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数． ⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f(x)的表达式，观察其特点，然后再进行判断． [例1]　判断下列函数的奇偶性 [分析]　利用函数奇偶性定义来判断． ∴f(x)为奇函数． (2)f(x)定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)定义域为(－∞，＋∞)，∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (4)定义域为(－∞，＋∞)，f(－x)＝－2x＋1， ∵f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)， ∴f(x)为非奇非偶函数． (5)定义域为{1}， ∵定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数． 判断函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)的奇偶性． [解析]　f(x)的定义域为R，当a≠0时，f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数， 当a＝0时，有f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数. [例2]　已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间． [分析]　由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式． [解析]　∵函数f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则f(0)＝0， 设x＜0，则－x＞0，∵x0时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有： 先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性画出y轴左边的图象．如下图． 由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]、[1，＋∞)，单调递减区间是[－1,0)、(0,1]． 已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)＝x＋1，则x0时，f(x)＝________. [答案]　－x＋1 [解析]　x0时，－x0，∴f(－x)＝－x＋1， 又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1. [例3]　已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数还是减函数？ [分析]　由函数的奇偶性进行转化． [解析]　设a≤x1＜x2≤b，则－b≤－x2＜－x1≤－a.∵f(x)在[－b，－a]上是增函数．∴f(－x2)＜f(－x1) 又f(x)是偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)，f