§1.2概率.PDF

§1.2 概率 随机事件A发生可能性大小的数值 度量，称为A的概率。 1 设 随机试验E 具有下列特点： ? 基本事件的个数有限 ? 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典概型 古典概型中概率的计算： 记 N = ?中包含的基本事件总数 M A=组成的基本事件个数 ( ) /P A M N=则 古典概率 概率的 古典定义 2 加法原理 完成一件事情有n 类方法，第 i 类 方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 共有 ∑ = n i im 1 种不同的方法. 乘法原理 完成一件事情有n 个步骤，第 i 个 步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 共有 ∏ = n i im 1 种不同的方法. 组合记数 (复习) 3 排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有 ( 1)( 2) ( 1)mnP n n n n m= ? ? ? +? 全排列 !nPnn = 可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有 mn 种. 4 组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有 ! !( )! n n m m n m ? ? =? ? ?? ? 1n r r + ?? ? ? ? ? ? 重复组合 从 n 个不同元素中每次取出一个， 放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合 称为重复组合，此种重复组合数共有 0! 1 1 0 n? ? = =? ? ? ? 和 5 bam +≤ 例 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率 mkak ≤≤ , )1()1)(()( +?+?++== + mbababaAn m ba ?? 解 （1）不放回情形 E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边， 重复 m 次 ?: 记事件 A 为m个球中有k个白球，则 )!( ! )!( ! )!(! ! kmb b ka a kmk m AACn kmb k a k mA +? ? ? ? ? = = ? 6 又解 E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色 m baCn +=1??1: 记事件 A 为m个球中有k个白球，则 km b k aA CCn ?= 不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个 球算得的结果相同. 则 m ba km b k a k m A AACAP + ? =)( mkak ≤≤ , 因此 m ba km b k a C CCAP + ? =)( mkak ≤≤ , 称超几 何分布 7 （2）放回情形 E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去, 重复 m 次 mban )( 2 +=??2: 记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则 m kmkk m ba baCBP )( )( + = ? kmk k m ba b ba aC ? ? ? ? ? ? ? +?? ? ? ? ? + = ba ap + =记 ),min(,,2,1)1()( makppCBP kmkkm ?=?= ? 称二项分布 8 例(球入盒子模型)设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率: （1）某指定的 k 个盒子中各有一球； （4）恰有 k 个盒子中各有一球； （3）某指定的一个盒子没有球； （5）至少有两个球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球. （2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ) m k≤ k N≤ 9 解 kn N= 设 (1) ~ (6)的各事件分别为 1 6A A→ 则 1 !Am k= 11 !( ) A k m kP A n N = = 4 !( ) k N k C kP A N = 3 ( 1)( ) k k NP A N ? = 2 ( 1)( ) m k m k k C NP A N ?? = 5 !( ) k k N k N C kP A N ? = 41 ( )P A= ? 3 ( 1)kAm N= ? 2 ( 1)m k mA km C N ?= ? 4 !kA Nm C k= 5 !k kA Nm N C k= ? 6 !kA Nm C k=