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§1.2概率
§1.2 概率
随机事件A发生可能性大小的数值
度量,称为A的概率。
1
设 随机试验E 具有下列特点:
? 基本事件的个数有限
? 每个基本事件等可能性发生
则称 E 为 古典概型
古典概型中概率的计算:
记 N = ?中包含的基本事件总数
M A=组成的基本事件个数
( ) /P A M N=则
古典概率
概率的
古典定义
2
加法原理 完成一件事情有n 类方法,第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情
共有 ∑
=
n
i
im
1
种不同的方法.
乘法原理 完成一件事情有n 个步骤,第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情
共有 ∏
=
n
i
im
1
种不同的方法.
组合记数 (复习)
3
排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放
回地)按一定的次序排成一排不同的
排法共有
( 1)( 2) ( 1)mnP n n n n m= ? ? ? +?
全排列 !nPnn =
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地
取出 m 个排成一排, 不同的排法有
mn
种.
4
组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放
回地)组成一组, 不同的分法共有
!
!( )!
n n
m m n m
? ?
=? ? ?? ?
1n r
r
+ ?? ?
? ?
? ?
重复组合 从 n 个不同元素中每次取出一个,
放回后再取下一个,如此连续取r次所得的组合
称为重复组合,此种重复组合数共有
0! 1 1
0
n? ?
= =? ?
? ?
和
5
bam +≤
例 袋中有a 只白球,b 只红球,从袋中按
不放回与放回两种方式取m个球( ),
求其中恰有 k 个 ( )白球的概率 mkak ≤≤ ,
)1()1)(()( +?+?++== + mbababaAn
m
ba ??
解 (1)不放回情形
E: 球编号,任取一球,记下颜色,放在一边,
重复 m 次
?:
记事件 A 为m个球中有k个白球,则
)!(
!
)!(
!
)!(!
!
kmb
b
ka
a
kmk
m
AACn kmb
k
a
k
mA
+?
?
?
?
?
=
= ?
6
又解 E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色
m
baCn +=1??1:
记事件 A 为m个球中有k个白球,则
km
b
k
aA CCn
?=
不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个
球算得的结果相同.
则
m
ba
km
b
k
a
k
m
A
AACAP
+
?
=)( mkak ≤≤ ,
因此
m
ba
km
b
k
a
C
CCAP
+
?
=)( mkak ≤≤ , 称超几
何分布
7
(2)放回情形
E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去,
重复 m 次
mban )(
2
+=??2:
记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则
m
kmkk
m
ba
baCBP
)(
)(
+
=
? kmk
k
m ba
b
ba
aC
?
?
?
?
?
?
?
+??
?
?
?
?
+
=
ba
ap
+
=记
),min(,,2,1)1()( makppCBP kmkkm ?=?=
?
称二项分布 8
例(球入盒子模型)设有 k 个不同的球, 每个
球等可能地落入 N 个盒子中( ), 设
每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
(1)某指定的 k 个盒子中各有一球;
(4)恰有 k 个盒子中各有一球;
(3)某指定的一个盒子没有球;
(5)至少有两个球在同一盒子中;
(6)每个盒子至多有一个球.
(2)某指定的一个盒子恰有 m 个球( ) m k≤
k N≤
9
解 kn N=
设 (1) ~ (6)的各事件分别为 1 6A A→
则
1
!Am k= 11
!( ) A k
m kP A
n N
= =
4
!( )
k
N
k
C kP A
N
=
3
( 1)( )
k
k
NP A
N
?
=
2
( 1)( )
m k m
k
k
C NP A
N
??
=
5
!( )
k k
N
k
N C kP A
N
?
= 41 ( )P A= ?
3
( 1)kAm N= ?
2
( 1)m k mA km C N
?= ?
4
!kA Nm C k=
5
!k kA Nm N C k= ?
6
!kA Nm C k=
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