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《微分几何》第162页习题解答
《微分几何》第 162 页习题解答
1. 证明曲面r(u, v) = {u2 + 13v, 2u3 + uv, u4 + 23u2v}是可展曲面.
证明:将原曲面方程改写成
r(u, v) = {u2, 2u3, u4}+ v{1
3
, u,
2
3
u2}
记= a(u) + vb(u).
它可以看成是以a(u)作为导线, 以b(u)作为直母线方向的直纹面. 因此给定曲面为
可展曲面的充要条件是 (a′, b, b′) = 0. 因为
a′ = {2u, 6u2, 4u3}, b′ = {0, 1, 4
3
u}.
所以
(a′, b, b′) =
∣∣∣∣∣∣∣
2u 6u2 4u3
1
3 u
2
3u
2
0 1 43u
∣∣∣∣∣∣∣ = 0,
即曲面为可展曲面.
2. 证明曲面r(u, v) = {cos v? (u + v) sin v, sin v + (u + v) cos v, u + 2v}是可展曲
面 (它是圆柱螺线r(v) = {cos v, sin v, v}的切线曲面 ).
证法Ⅰ:将原曲面方程改写成
r(u, v) = {cos v ? v sin v, sin v + v cos v, 2v}+ u{? sin v, cos v, 1}
记= a(v) + ub(v).
则
a′ = {?2 sin v ? v cos v, 2 cos v ? v sin v, 2},
b′ = {? cos v,? sin v, 0}.
可直接验证
(a′, b, b′) =
∣∣∣∣∣∣∣
?2 sin v ? v cos v 2 cos v ? v sin v 2
? sin v cos v 1
? cos v ? sin v 0
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
1
于是给定曲面是可展曲面.
证法Ⅱ: 首先知道曲面的u -线是直线, 其次求曲面的法向量. 因为
ru = {? sin v, cos v, 1},
rv = {?2 sin v ? (u + v) cos v, 2 cos v ? (u + v) sin v, 2},
因此
n =
ru × rv
|ru × rv| =
1√
2
{sin v,? cos v, 1}.
故n沿直母线(即u -线)是不变的, 根据可展曲面定义知题设曲面是可展曲面.
证法Ⅲ:直接验证圆柱螺线r(v) = {cos v, sin v, v}的切线面r(u, v) = r(v) +
ur′(v)正是题中的曲面, 而正则曲线的切线面总是可展曲面, 故题设曲面为可展曲面.
3. 证明正螺面r(u, v) = {v cos u, v sinu, au + b}不是可展曲面.
证明:令a(u) = {0, 0, au + b}, b(u) = {cos u, sinu, 0}, 则原方程可以写成
r = a(u) + vb(u),
而且
a′(u) = {0, 0, a}, b′(u) = {? sinu, cos u, 0},
所以
(a′, b, b′) =
∣∣∣∣∣∣∣
0 0 a
cos u sinu 0
? sinu cos u 0
∣∣∣∣∣∣∣ = a 6= 0,
即正螺面不是可展曲面.
4. 证明挠曲线的主法线曲面和副法线曲面都不是可展曲面.
证明:设挠曲线的自然参数方程为r = r(s), 它的主法向量和副法向量分别为
β(s)和γ(s), 则主法线曲面Σ1和Σ2副法线曲面分别为
Σ1 : r1(s, u) = r(s) + uβ(s),
Σ2 : r2(s, v) = r(s) + vγ(s).
由Frenet公式, 我们得到
(r?),β, β?) = (α,β,?kα + τγ) = τ(α,β,γ) = τ 6= 0;
(r?,γ, γ?) = (α,γ,?τβ) = τ(α,β,γ) = τ 6= 0.
2
因此, 挠曲线的主法线曲面和副法线曲面都不是可展曲面.
由证明不难看出, 对于平面曲线, 其主法线曲面和副法线曲面都是可展曲面, 而无
论是平面曲线还是挠曲线, 其切线曲面总是可展曲面.
5. 求平面族x cos α + y sinα? z sinα = 1的包络.
解:令F (x, y, z, α) = x cos α + y sinα? z sin α? 1, 则平面族F (x, y, z, α) = 0的
包络S满足方程组 ???F (x, y, z, α) = 0,Fα(x, y, z, α) = 0,
即 ???x cos α + y sinα? z sinα? 1 = 0,?x sin α + y cos α? z cos α = 0,
消去α, 得
x2 + (y ? z)2 = 1,
为所求的平面族的包络.
令 ???y? =
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