《微分几何》第162页习题解答.PDF

《微分几何》第 162 页习题解答 1. 证明曲面r(u, v) = {u2 + 13v, 2u3 + uv, u4 + 23u2v}是可展曲面. 证明：将原曲面方程改写成 r(u, v) = {u2, 2u3, u4}+ v{1 3 , u, 2 3 u2} 记= a(u) + vb(u). 它可以看成是以a(u)作为导线, 以b(u)作为直母线方向的直纹面. 因此给定曲面为 可展曲面的充要条件是 (a′, b, b′) = 0. 因为 a′ = {2u, 6u2, 4u3}, b′ = {0, 1, 4 3 u}. 所以 (a′, b, b′) = ∣∣∣∣∣∣∣ 2u 6u2 4u3 1 3 u 2 3u 2 0 1 43u ∣∣∣∣∣∣∣ = 0, 即曲面为可展曲面. 2. 证明曲面r(u, v) = {cos v? (u + v) sin v, sin v + (u + v) cos v, u + 2v}是可展曲 面 (它是圆柱螺线r(v) = {cos v, sin v, v}的切线曲面 ). 证法Ⅰ：将原曲面方程改写成 r(u, v) = {cos v ? v sin v, sin v + v cos v, 2v}+ u{? sin v, cos v, 1} 记= a(v) + ub(v). 则 a′ = {?2 sin v ? v cos v, 2 cos v ? v sin v, 2}, b′ = {? cos v,? sin v, 0}. 可直接验证 (a′, b, b′) = ∣∣∣∣∣∣∣ ?2 sin v ? v cos v 2 cos v ? v sin v 2 ? sin v cos v 1 ? cos v ? sin v 0 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0. 1 于是给定曲面是可展曲面. 证法Ⅱ： 首先知道曲面的u -线是直线, 其次求曲面的法向量. 因为 ru = {? sin v, cos v, 1}, rv = {?2 sin v ? (u + v) cos v, 2 cos v ? (u + v) sin v, 2}, 因此 n = ru × rv |ru × rv| = 1√ 2 {sin v,? cos v, 1}. 故n沿直母线(即u -线)是不变的, 根据可展曲面定义知题设曲面是可展曲面. 证法Ⅲ：直接验证圆柱螺线r(v) = {cos v, sin v, v}的切线面r(u, v) = r(v) + ur′(v)正是题中的曲面, 而正则曲线的切线面总是可展曲面, 故题设曲面为可展曲面. 3. 证明正螺面r(u, v) = {v cos u, v sinu, au + b}不是可展曲面. 证明：令a(u) = {0, 0, au + b}, b(u) = {cos u, sinu, 0}, 则原方程可以写成 r = a(u) + vb(u), 而且 a′(u) = {0, 0, a}, b′(u) = {? sinu, cos u, 0}, 所以 (a′, b, b′) = ∣∣∣∣∣∣∣ 0 0 a cos u sinu 0 ? sinu cos u 0 ∣∣∣∣∣∣∣ = a 6= 0, 即正螺面不是可展曲面. 4. 证明挠曲线的主法线曲面和副法线曲面都不是可展曲面. 证明：设挠曲线的自然参数方程为r = r(s), 它的主法向量和副法向量分别为 β(s)和γ(s), 则主法线曲面Σ1和Σ2副法线曲面分别为 Σ1 : r1(s, u) = r(s) + uβ(s), Σ2 : r2(s, v) = r(s) + vγ(s). 由Frenet公式, 我们得到 (r?),β, β?) = (α,β,?kα + τγ) = τ(α,β,γ) = τ 6= 0; (r?,γ, γ?) = (α,γ,?τβ) = τ(α,β,γ) = τ 6= 0. 2 因此, 挠曲线的主法线曲面和副法线曲面都不是可展曲面. 由证明不难看出, 对于平面曲线, 其主法线曲面和副法线曲面都是可展曲面, 而无 论是平面曲线还是挠曲线, 其切线曲面总是可展曲面. 5. 求平面族x cos α + y sinα? z sinα = 1的包络. 解：令F (x, y, z, α) = x cos α + y sinα? z sin α? 1, 则平面族F (x, y, z, α) = 0的 包络S满足方程组 ???F (x, y, z, α) = 0,Fα(x, y, z, α) = 0, 即 ???x cos α + y sinα? z sinα? 1 = 0,?x sin α + y cos α? z cos α = 0, 消去α, 得 x2 + (y ? z)2 = 1, 为所求的平面族的包络. 令 ???y? =