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台北市立建国高级中学第四十七期通信解题题目解答与评析
台北市立建國高級中學第四十七期通信解題題目解答與評析
設對於任何整數x而言,ax3 + bx2 + cx + d都能被5整除,試問a,b,c,d中有哪些能被5整除?
【解答】
令x = 0,1,(1,2代入得 d能被5整除 a + b + c + d能被5整除 ( a + b ( c + d能被5整除 8a + 4b + 2c + d能被5整除由上可得 a + b + c能被5整除 ( a + b + c能被5整除 3a + 4b + 2c能被5整除又得2b能被5整除,即b能被5整除故 a + c能被5整除 3a + 2c能被5整除得 a能被5整除 c能被5整除
【】
有2006個盒子,每個盒子均放入1個球,球的顏色可能是白色或是黑色,且已知這2006個球共有偶數個白球。現允許你指著2個盒子詢問:「它們中是否至少有1個放的是白球?」,試問:最少需要詢問幾次,你就可以確定出2個盒子中放的都是白球。
【解答】4009次
將盒子編號為1 , 2 , …… , 2006,
(1) 我們先證明詢問4009次後,可以確定哪2個盒中是白球:
依次詢問 (1, 2)、(1, 3)、……、(1, 2006)、(2, 3)、(2, 4)、……、(2, 2006)。
(如果答案都是肯定的,則1號球與2號球都是白色的(原因是若1號球是黑色的,因這2006個球有偶數個白球,那麼就可以找到1個黑球與1號黑球配成一對,使得詢問的問題答案是否定的)(如果答案中至少有一個是否定的(不妨假設是包含1號球的問題),那麼1號球是黑色的,此時(1, 2)、(1, 3)、……、(1, 2006)的詢問中,凡是答案是肯定的,則另一個必為白色的,如此一來,我們可以找到所有的白球。
(2) 其次證明,不能少於4009次的詢問:
假設存在某種方案可以用更少的詢問來確保一定可以找到2個白球,此時最多在4008次的詢問之後,我們就必須指出哪2個是白球,不妨假設指出的是1號球與2號球為白色的。但因為只詢問了4008次,則必有形如(1,n)或(2,n)沒有詢問到,假設是(1,k)沒有詢問到,今假如在1號與k號盒子中放的是黑球,其他所有的盒子均放白球,那麼之前所問的4008個詢問答案全都是肯定的,但是所指的1號球與2號球為白色是錯誤的。
【】…、(2005,2006)
( 上述問題的答案最少有兩組是肯定的(若只有一組,則可那組的兩球均是白色的;當然也有可能這1003組的答案均是肯定的),不妨假設(1,2)至少有一個是白球,(3,4)至少有一個是白球。同學以為再檢驗(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)即可確認哪2球是白色。
事實上,在(的檢驗中答案是肯定的可能有1~1003組,(的討論中若確定只有2組是肯定的(其他1001組是否定的),那麼這檢驗是有意義的。舉下列例子:
(A) 編號1與編號95是黑球其餘是白球
(B) 編號2與編號95是黑球其餘是白球
(C) 編號3與編號95是黑球其餘是白球
(D) 編號4與編號95是黑球其餘是白球
在(的檢驗中上述4種情形答案均有1003組是肯定的,此時要選哪一組繼續檢驗呢?當你選擇(1,2)、(3,4)檢驗以為可以得到結論時,可是就算你檢驗完(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)後發覺,這些檢驗答案均是肯定的,但是哪兩個是白色的呢?
這是幾乎所有回答這題的同學一起的盲點。
共有幾組解?
【解答】
可視為方程式
而皆為火柴棒,共有20根,
其中
10+0+0+0+0→(5),9+1+0+0+0→,8+2+0+0+0→,
8+1+1+0+0→,73000→,72100→,71110→,
64000→,63100→,62200→,62110→,
61111→5,55000→,54100→,53200→60,53110→60,
52210→60,52111→20,44200→30,44110→30,43300→30,43210→120,
43111→20,42220→20,42211→30,33310→20,33220→30,33211→30,
32221→20,22222→1
∴共有
【】
扇形OAB是單位圓的四分之一,半圓O1的圓心O1在OA上,並與內切於點A,半圓O2的圓心O2在OB上,並與內切於點B,半圓O1與半圓O2相外切,設兩圓的半徑和為x,面積之和為y:(1)求x與y的關係;(2)求y的最小值。【解答】
(1)因
得
(
(
故
(2)由
(
(
又
(
(
(或(不合)
(
綜上得
當時,有最小值
【】
有一個圓錐體(如圖),、底面的圓半徑為2,分別是的中點。其中是底面圓周
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