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第3章 线性方程组 第4章 矩阵的特征值及二次型 一、单项选择题 1 用消元法得的解为（C） A B C D 2 线性方程组（B） A 有无穷多解 B 有唯一解 C 无解 D 只有零解 注：经初等行变换，有,线性方程组有唯一解. 3 向量组，，，，得秩为（A） A 3 B 2 C 4 D 5 4 设向量组为，，，，则（B）是极大无关组。 A B C D 注： 极大无关组为：或. 5 与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组有解，则（A） A B C D 6 若某个线性方程组相应的齐次方程组只有零解，则该线性方程组（A） A 可能无解 B 有唯一解 C 有无穷多解 D 无解 注：若线性方程组相应的齐次方程组只有零解只能说明：系数矩阵的秩等于未知量的个数，至于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等不得而知。例与 7 以下结论正确的是（D） A方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D齐次线性方程组一定有解（至少有零解，所以正确） 8 若向量组线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出。 A 至少有一个向量 B 没有一个向量 C 至多有一个向量 D 任何一个向量 定理3.6 9设A,B 为n 阶矩阵，既是A又是B的特征值，既是A又是B的属于的特征向量，则结论（A）成立。 A 是的特征值 B 是的特征值 C 是的特征值 D 注：由已知得，，， 从而 选A B 和 D不正确 10 设A,B,P 为n阶矩阵，若等式（C）成立，则称A和B相似。 A B C D 定义4.2 二、填空题 1 当1时，齐次线性方程组有非零解. 注： 2 向量组， 线性相关. 注： 第五行：包含零向量的向量组一定是线性相关的. 3 向量组，，，得秩是3. 4 设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有非零解，且系数列向量是线性相关的. 5 向量组的极大线性无关组是. 6 向量组的秩与矩阵的秩相等. 注： 定理3.9 7 设线性方程组中有5个未知量，且秩(A)=3,则其基础解系中线性无关的解向量有2个. 8 设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为：（为任意常数）. 9 若是的特征值，则是方程的根. 注： （3） 10 若矩阵满足为方阵且，则称为正交矩阵. 注： 定义4.5 三、解答题 1 用消元法解线性方程组 解：将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯阵： 于是知，，，，为唯一解. 2 设有线性方程组，为何值时，方程组有唯一解？或有无穷多解？ 解：方法一：①当时，有，方程组有唯一解，于是有 于是当且时，方程有唯一解。 ②当时，有 ，有，知有无穷多解. 当时，有 由，方程组无解. 于是，当时，方程组有无穷多解. 方法二： 于是当时，，方程组无解. 当时，方程组有无穷多解. 当且时，方程有唯一解。 3 判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式.其中： ，，， 解：若能由向量组线性表示，有 写作线性方程组即为：， 于是有 ，所以不能由线性表出. 4 计算下列向量组的秩，并且判断该向量组是否线性相关？ ，，， 解：由矩阵（以为列）进行初等行变换，有 知向量组的秩为3， 由于，所以向量组线性相关. 5 求齐次线性方程组的一个基础解系. 解：将系数矩阵进行初等行变换，有 于是有即，令，得 化简，令，则为齐次线性方程组的一个基础解系. 6 求线性方程组的全部解. 解：将增广矩阵进行初等行变换，有 令，得相应的解向量， 令，得相应的解向量， 令，得相应的特解， 于是线性方程组的全部解为： （其中为任意常数）. 7 试证：任一4维向量都可由向量组 ，，， 线性表出，且表出方式唯一，写出这种表出方式. 证：由已知可由线性表示，有 写作线性方程组，有 因为系数行列式 所以由克拉默法则，线性方程组有唯一解 又因为 所以.且表出方式唯一。 8 试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解. 证：本题前提条件为：线性方程组有解 首先证明 “” 即： “有唯一解对应齐次线性方程组只有零解” 由 线性方程组有解判定定理，有 当，即满秩时，