电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(版).docVIP

第五章 恒定磁场 5-1 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质（即）中，当存在恒定电流时，试证磁感应强度应满足拉普拉斯方程，即。 证 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质中，由及，得 对等式两边同时取旋度，得 但是，考虑到恒等式，得 又知，由上式求得 。 5-2 设两个半径相等的同轴电流环沿x轴放置，如习题图5-2所示。试证在中点P处，磁感应强度沿x轴的变 化率等于零，即 解 设电流环的半径为a，为了求解方便，将原题中坐标轴x换为坐标轴z，如图示。那么，中点P的坐标为（z，0，0），电流环①位于处，电流环②位于处。根据毕奥—沙伐定律，求得电流环①在P点产生的磁感应强度为 取圆柱坐标系，则 ，，， 因此 同理可得，电流环②在P点产生的磁感应强度为 那么，P点合成磁感应强度为 由于和均与坐标变量z无关，因此P点的磁感应强度沿z轴的变化率为零，即 5-3 已知边长为a的等边三角 形回路电流为I，周围媒质为 真空，如习题图5-3所示。试求 回路中心点的磁感应强度。 解 取直角坐标系，令三角形的AB边沿x 轴，中心点P位于y轴上，电流方向如图示。 由毕奥—沙伐定律，求得AB段线电流在P点产生的磁感应强度为 式中，，，即 由于轴对称关系，可知BC段及AC段电流在P点产生的磁感应强度与AB段产生的磁感应强度相等。因此，P点的磁感应强度为 5-4 已知无限长导体圆柱半径为a，通过的电流为I，且电流均匀分布，试求柱内外的磁感应强度。 解 建立圆柱坐标系，令圆柱的轴线为Z轴。那么，由安培环路定律得知，在圆柱内线积分仅包围的部分电流为，又，则 即 在圆柱外，线积分包围全部电流，那么 即 5-5 已知无限长导体圆柱的半径为a，其内部存在的圆柱空腔半径为b，导体圆柱的轴线与空腔圆柱的轴线之间的间距为c，如习题图5-5（a）所示。若导体中均匀分布的电流密度为，试求空腔中的磁感应强度。 解 柱内空腔可以认为存在一个均匀分布的等值反向电流，抵消了原有的电流而形成的。那么，利用叠加原理和安培环路定律即可求解。已知半径为，电流密度为的载流圆柱在柱内半径r处产生的磁场强度H1为 求得 ，或写为矢量形式 对应的磁感应强度为 同理可得半径为，电流密度为的载流圆柱在柱内产生的磁场强度为 对应的磁感应强度为 上式中的方向及位置如习题图5-5（b）示。因此，空腔内总的磁感应强度为 5-6 两条半无限长直导线与一个半圆环导线形成一个电流回路，如习题图5-6所示。若圆环半径r =10cm，电流I = 5A，试求半圆环圆心处的磁感应强度。 解 根据毕奥—沙伐定律，载流导线产生的磁场强度为 设半圆环圆心为坐标原点，两直导线平行于X轴，如图所示。那么，对于半无限长线段① ，， 因此，在圆心处产生的磁场强度为 同理线段③在圆心处产生的磁场强度为 对于半圆形线段② , , 因此，它在半圆心处产生的磁场强度为 那么，半圆中心处总的磁感应强度为 5-7 若在处放置一根无限长线电流，在y = a处放置另一根无限长线电流，如习题图5-7所示。试 求坐标原点处的磁感应强度。 解 根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于处的无限长线电流在原点产生的磁场为 位于处的无限长线电流产生的磁场为 因此，坐标原点处总磁感应强度为 5-8 已知宽度为W的带形电流的面密度，位于z = 0平面内，如习题图5-8所示。试求处的磁感应强度。 习题图5-8(a) 习题图5-8(b) 解 宽度为，面密度为的面电流可看作为线电流，其在P点产生的磁场为 由对称性可知，z方向的分量相互抵消，如习题图5-8（b） 所示，则 因此，在处的磁感应强度为 5-9 已知电流环半径为a， 电流为I，电流环位于z = 0 平面，如习题图5-9所示。 试求处的磁感应强度。 解 由毕奥—沙伐定律得 因为处处与正交，则 即 由对称性可知，P点磁场强度只有分量，所以 因此，处的磁感应强度为 5-10 当半径为a的均匀带电圆盘的电荷面密度为，若圆盘绕其轴线以角速度旋转，试求轴线上任一点磁感应强度。 解 如习题图 5-10所示，将圆盘分割成很多宽度为的载流圆环dI，它在处产生的磁感应强度，根据题5-9结果,得知 因为 习题图5-10 因此 5-11 已知位于y = 0平面内的表面电流，试证磁感应强度B为 解 有两种求解方法。 解法一：将平面分割成很多宽度 为的无限长线电流，那么由题5-8结果获知，当时 因此，积分求得 同理，当时，