电磁场讲：.docVIP

第二讲：向量分析与场论（II） 例6、某一向量场，其空间函数关系为E(x, y, z) = ( x i + y j + z k )／( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2，如图15，试求该向量场沿空间任一路径由P1( x1, y1, z1 )点到P2( x2, y2, z2 )点场的路径积分 解：路径积分微元就是指在给定的路径上任意点处的线元与该点的场向量的点积。在本例中，在如图路径上为，在P( x, y, z )处路径积分微元表示为 E(x, y, z) (dl （3.3） 路径积分是指从路径起点到末点，把路径剖分为无数个线元，这样就构成了无数个路径积分微元，把这无数个路径积分微元相加，所得结果即为整个路径上的路径积分，表示为 (p1p 2E(x, y, z) (dl （3.4） 代入具体表达为 (p1p 2E(x, y, z) (dl =(p1p 2( x i + y j + z k )／( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2 ( ( dx i + dy j + dz k ) =(p1p 2( x dx + y dy + z dz )／( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2 = ?(p1p 2(dx2 + dy2 + z dz2)／( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2 = ?(p1p 2d( x2 + y2 + z2 )／(x2 + y2 + z2 ) 3/ 2=?( (x1, y1, z1) ( x2, y2, z2)d( x2 + y2 + z2 )／( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2 = ?( (x1, y1, z1) ( x2, y2, z2) 1/( 3/ 2 - 1) d ( x2 + y2 + z2 ) -3/ 2+1= - ( (x1, y1, z1) ( x2, y2, z2) d ( x2 + y2 + z2 ) -1/ = ( x12 + y12 + z12 ) -1/ 2 - ( x22 + y22 + z22 ) -1/ 2 = 1/r1 – 1/r2 （3.5） 讨论：1）由（3.4）式可见，E(x, y, z)场的路径积分和路径无关，也即假设由P1( x1, y1, z1 )点到P2( x2, y2, z2 )点引两条不同的路径，在路径积分过程中，虽处处场和线元不同，但是整体积分完全相同，也即积分只和起始点P1和终点P2位置有关，是位置的函数。若E(x, y, z)场看作电场，则路径积分可以看作单位电荷在电场力的作用下沿路径的位移移动电场力所做的功，不同路径积分相同，便是“异曲同工”。在这里E(x, y, z)场的表达式实质上是电磁场中电场强度的核心表达式。据此，（3.5）式是电位、电压的概念引入依据 在日常对两点或两导线之间的电压进行测量时，由电压表所引出的两根接线分别接入两待测量点，测量时我们从不关心这两根接线在空间的形态，为什么？根据电磁场原理，在电场中空间两点电压就是电场强度沿这两点间任意路径的路径积分。这一积分和路径无关，所以随意挪动两根接线在空间的路径以改变其路径形态，电压表的读数一定不会发生变化；若发生变化，电压表就不会存在，因为电压的概念不会存在，今天的所有与电有关的一切统统不会存在。 2）上述积分是在直角坐标系下进行的，同样对该积分问题在球坐标系下进行，且运算过程更为简便: 原场E(x, y, z) = ( x i + y j + z k )／( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2， 由位移向量公式（2.1）、（2.2）和（2.5）： E(x, y, z) = E( r ) = r／r 3 = r0／r 2（3.6） 由场强的表达式可以看出，空间任意点处的场方向与该点矢径方向一致，在进行路径积分E(x, y, z) (dl运算时，可以看成线元沿场方向进行投影，路径上任意r处沿矢径方向线元投影为 (( cos( = dr （3.7） E(x, y, z) (dl = dr／r 2 （3.8） （3.7）、（3.8）式具有普遍含义，如图16所示，在r初邻近rx处，其路径上rx处沿矢径方向线元投影为drx，虽然r 、rx 方向不一 致，但是线元与之点积结果所体现的只与半径 大小有关，故可以直接进行积分 (p1p 2E(x, y, z) (dl = (r1r 2dr／r 2 = - (r1r 2 d(1／r ) = - (1/r2 –1/r1) = 1/r1 – 1/r2 3）路径积分的不同表述：由P1点到P2点的两条路径假设分别为τ1、τ2，则不同路径环量积分相同可表示为 (τ1 E(x,