直线与圆锥曲线的位置关系考点解读.docVIP

　 基础梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度讲，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点 (2)从代数角度讲，可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0 由，消元 如消去y后得ax2＋bx＋c＝0 若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合) 若a≠0，设Δ＝b2－4ac a．Δ0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点 b．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点 c．Δ0时，直线和圆锥曲线没有公共点 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)． 一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数． 一条规律 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 双基自测 1．(人教B版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 答案　A 2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(　　)． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 答案　A 3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)． A．3 B．2 C．2 D．4 解析　根据题意设椭圆方程为＋＝1(b＞0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)·(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，b2＝3， 长轴长为2＝2. 答案　C 4．(2012·成都月考)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)． A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：两式作差得：＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1. 答案　B 5．(2011·泉州模拟)y＝kx＋2与y2＝8x有且仅有一个公共点，则k的取值为________． 解析　由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2；若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1.故k＝0或k＝1. 答案　0或1　　 考向一　直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】(2011·合肥模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] [审题视点] 设直线l的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得． 解析　由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，当k＝0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1，－1≤k≤1，且k≠0，综上－1≤k≤1. 答案　C 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法