直线与次曲线.docVIP

直线与二次曲线 黄梅县第五中学 李旭东 二次曲线是高中数学中的重点和难点内容，还是高考必考内容，且比重大。下面是我多年任教二次曲线的一点心得。 直线与二次曲线的题型可分为四个部分解决: 一.弦长问题 例1.设椭圆6x2+2y2=12中有一内接三角形PAB,过O,P的直线的倾斜角为 (1)试证过A,B的直线的斜率是定值; (2)求ΔPAB面积的最大值. 解: 例2. 点C的轨迹与直线y=x－2交于D，E两点，求线段DE的长。 答案：(1)设点C（x，y），则|CA|－|CB|=±2 根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为： ∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点D、E， 设D(x1，y1)，E（x2，y2），则x1+x2=﹣4，x1x2=﹣6… 二.对称问题 例3.在以O为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为ΔOAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点B的坐标大于零。 (2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程； (3)是否存在实数a, 使抛物线y=ax2-1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在， 说明理由；若存在，求a的取值范围。 答案： 例4.给定椭圆C:x2+4y2= 4.(1)若A,B是曲线C上关于坐标轴不对称的任意相异两点,求这两点的对称轴L在x轴上的截距t的取值范围; (2)对于(1)中的t的取值范围内的to,过点M (to,0)作直线L,设L是曲线C上关于坐标轴不对称的两点A,B的对称轴,求直线L的斜率k的取值范围. 解: 三.成比例线段 例5. 相交于A、B两点，且C分有向线段的比为2. （Ⅰ）用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积; （Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程. 答案：（Ⅰ）设椭圆E的方程为(a＞b＞0)，由e= ∴a2=3b2 故椭圆方程x2+3y2=3b2 1分 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分有向线段的比为2， ∴即 由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0 由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点 而S△OAB ⑥ 由①④得:x2+1=－，代入⑥得：S△OAB= （Ⅱ）因S△OAB=,当且仅当S△OAB取得最大值 此时x1+x2=－1,又∵=－1 ∴x1=1,x2=－2 将x1,x2及k2=代入⑤得3b2=5 ∴椭圆方程x2+3y2=5 例6. (1)判断曲线的形状,?简单说明理由 ； 求曲线M的方程; 解: 当c3时,为双曲线;当0c3时,为椭圆. (3)略. 四.与向量有关 例7.设x、y∈R， i、j为直角坐标平面内x、y 轴正方向上的单位向量，若向量 a=xi+(y+2)j,b=xi+ (y-2)j,｜a｜+｜b｜=8.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程； (2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设是否存在 这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形?若存在，求出直线l的方程； 若不存在，试说明理由. 答案：(1)解法一：∵a=xi+(y+2)j, b=xi+(y-2) j， 且｜a｜+｜b｜=8，∴点M(x,y)到两个定点 F1(0，-2)，F2(0，2)的距离之和为8. (2)∵l过y轴上的点(0，3)， 若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点. ∵=0，∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.∴直线l的斜率存在， 设l方程为y=kx+3，A(x1,y1),B(x2,y2) 此时，Δ=(18k)2-4(4+3k2)(-21)＞0恒成立， ∵∴四边形OAPB是平行四边形. 若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即 ∵OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，x1x2+y1y2=0 例8.椭圆x2+2y2=8和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),在AB上 解: 即Q点轨迹方程是:2x+y=4 (在椭圆内部的部分,不含端点) 练习 1．已知抛物线C：ｙ=-0.5x2+6,点P（2，4），A、B在抛物线上，且直线PA、PB的 倾斜角互补；（Ⅰ）证明：直线AB的斜率为定值； （Ⅱ）当直线AB在ｙ轴上的截距为正数时，求△PAB的面积S的最大值及此时 直线AB的方程. 答案：(Ⅰ)易知点P在抛物线C上,设PA的斜率为k,则直线PA的方程是ｙ-4=k(x-2) 此时方程应有根xA及2，由韦达定理得：2xA=-4(k+1)∴xA=-2(k+1) ∴ｙA=k(xA-2)+4=-2k2-4k+4∴A(-