相对论的概括.docVIP

牛顿引力的几何理论尽管看上去很有趣，但这一理论的基础经典力学不过是（狭义）相对论力学的一个特例[17]。用对称的语言来说，在不考虑引力的情形下物理学具有洛伦兹不变性，而并非经典力学所具有的伽利略不变性。(狭义相对论的对称性包含在庞加莱群中，它除了包含有洛伦兹变换所包含的洛伦兹递升和旋转外还包含平移不变性。)在研究对象的速度接近光速或者高能的情形下这两者的区别逐渐变得明显[18]。 在洛伦兹对称性下可以引入光锥的概念（见左图），光锥构成了狭义相对论中的因果结构：对于每一个发生在时空中的事件A，原则上有能够通过传播速度小于光速的信号或相互作用影响到事件A或被事件A影响的一组事件（具有因果联系），例如图中的事件B；也有一组不可能互相影响的事件（不具有因果联系），例如图中的事件C；而这些事件间有无因果联系都与观测者无关[19]。将光锥和自由落体的世界线联系起来可以导出时空的半黎曼度规，或至少可以得到一个正的标量因子，在数学上这是共形结构的定义[20]。 狭义相对论的建立改变了人们对质量唯一性的观念：质量不过是系统能量和动量的一种表现形式，这使得爱因斯坦着手将弱等效原理纳入一个更广泛的框架中：处于封闭空间中的观察者无论采用什么测量方法（而不仅限于投掷小球）都无法区分自己是处于引力场还是加速参考系中。这种概括成为了著名的爱因斯坦等效原理：在足够小的时空区域中物理定律退化成狭义相对论中的形式；而不可能通过局部的实验来探测到周围引力场的存在。狭义相对论是在不考虑引力的情况下建立的，因此对于实际引力可以忽略的应用这是一个合适的模型。如果考虑引力的存在并假设爱因斯坦等效原理成立，则可知宇宙间不存在全局的惯性系，而只存在跟随着自由落体的粒子一起运动的局部近似惯性系。用时空弯曲的语言来说，是表征了无引力作用的惯性系的直的类时世界线在实际时空中彼此会产生弯曲，这意味着引力的引入会改变时空的几何结构[21]。爱因斯坦等效原理由此暗示引力作用应归属于时空弯曲的范畴，无加速度的惯性运动和引力作用下的自由落体具有完全相同的定义。 实验数据表明，处于引力场中的时钟测量出的时间——或者用相对论的语言称为固有时——并不服从狭义相对论定律的制约。用时空几何的语言来说，这是由于所测量的时空并非闵可夫斯基度规。对于牛顿引力理论而言这暗示着一种更一般的几何学。在微小尺度上所有处于自由落体状态的参考系都是等效的，并且都可近似为闵可夫斯基性质的平直度规。而接下来我们正在处理的是对闵可夫斯基时空的弯曲化的一般性概括，所用到的度规张量定义的所在的时空几何——具体说来是时空中的长度和角度是如何被测量的——并不是狭义相对论的闵可夫斯基度规，这种度规被概括地称作半黎曼度规或伪黎曼度规。并且每一种黎曼度规都自然地与一种特别的联络相关联，这种联络被称作列维-奇维塔联络；事实上这种联络能够满足爱因斯坦等效原理的要求并使得时空具有局部的闵可夫斯基性（这是指在一个适合的局部惯性坐标系下度规是闵可夫斯基性的，其度规的导数和连接系数即克里斯托费尔符号都为零。）[22]。总体上可以归纳为，在爱因斯坦的理论中引力引起的时空弯曲是一种可微分流形，这种流形在局部是平直的，但整体上可能具有非常不同的全局几何。 [编辑]爱因斯坦方程 主条目：爱因斯坦引力场方程 在建立了描述引力效应的相对论性几何化版本后，还有一个关于引力的起源问题没有解决。牛顿理论中的引力来源于质量，而在狭义相对论中质量的概念被包含在更具有一般性的能量-动量张量中。这个张量包含了对系统的能量和动量的密度，以及应力（即压强和剪应力的统称）的描述[23]，通过等效原理就可以将能量-动量张量概括到弯曲的时空几何中去。如果和几何化的牛顿引力作进一步的类比，可以很自然地通过一个场方程将能量-动量张量和里奇张量联系起来，而里奇张量正描述了潮汐效应的一类特殊情形：一团初始状态为静止的测试粒子形成的云的体积会由于这群测试粒子作自由落体运动而变化。在狭义相对论中，能量-动量张量的守恒律在数学上对应着它的散度为零，而这一守恒律也可以被概括到更一般的弯曲时空中，其方法是将经典的偏导数替换为它们在曲面流形上的对应物：协变导数。在这一附加条件下，能量-动量张量的协变散度，以及场方程右边所有可能出现的项统统为零，这一组简洁的方程表述被称作爱因斯坦引力场方程。 方程左边是一个由里奇张量构成的并且散度为零的特别组合，这种组合被称作爱因斯坦张量。特别地， 是时空曲率的里奇标量。而里奇张量本身与更一般化的黎曼张量之间的关系为 方程右边的是能量-动量张量。将引力场方程的理论和对行星轨道实际观测的结果（或等价地考虑到弱场低速时近似为牛顿引力理论）相比较，可得到方程中的比例常数，其中是万有引力常数而是光速[24]。当没有物质存在时能量-动量张量为零，这时的爱因斯坦场方程的形式