空间中直线与直线之间的位置关系方法指引_老师.docVIP

空间中直线与直线之间的位置关系·方法指引 ? （1）证明两条直线异面的方法 证明两条直线异面的方法有两种： ①用定义证明：此时需用反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可． ②用定理证明：用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件a(a，A(a，B∈a，B(a，然后可以推导出直线a与AB是异面直线，以下我们将该结论作为例题12进行论证，从而使我们在应用它时能够“理直气壮”． 【例1】求证：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线． 思路点拨 如图2．1．2—17，已知a(α．A(α，B∈α，B(α．要求证直线AB与a是异面直线，若是用定义来证明两直线不同在任何一个平面内，我们很难办到，但我们可以考虑从问题的反面入手，即使用反证法证明． 解：假设直线AB与a在同一平面内，那么这个平面一定经过点B和直线a． ∵B∈α，经过点B和直线a只能有一个平面α， ∴直线AB与a应在α内． ∴A∈α．这与已知A(α相矛盾， ∴直线AB与a是异面直线． 误点剖析 不会从问题的反面入手，导致思路受阻． 评注：（1）反证法是证明两直线为异面直线的常用方法，也是较有效的方法，反证法的证明思路是“否定结论，找矛盾”．具体可分解为以下三步： ①假设结论不正确，即否定结论； ②找矛盾：在假设的前提下，通过正确的逻辑推理，得到矛盾，矛盾可以是与已知公理、定理、定义矛盾，也可以是与已知条件矛盾，或自相矛盾等等； ③否定假设，肯定要证明的结论． （2）本例的结论，可以做为判定定理来判定两直线为异面直线，此命题可用数学语言描述为：若a(α，A(α，B∈α，B(a，则直线AB与a是异面直线． 试解相关题 1.1 已知a、b是一对异面直线，而直线c、d是与a、b都相交的两直线，若在a、b、c、d四条直线中，无三线共点的情况．试证明：c、d是异面直线． 参考答案：采用反证法 1.2 在正方体ABCD—A1BlClD1中，求证：ACl与BD异面． 参考答案：略 【例2】如图2．1．2—18，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD和BC是异面直线． 思路点拨 此题我们既可以用反证法证明，也可以用例12的结论作为判定定理来证明． 证法一：（反证法）：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内， ∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面相矛盾． ∴AD与BC是异面直线． 证法二：（直接用判定定理）：∵ a∩c＝P， ∴a和c确定一个平面，设为β，巳知C(平面β，B∈平面β，AD(平面β，B(AD， ∴AD和BC是异面直线． 误点剖析 在证法二中，若缺少耐心，不交待满足定理的条件就得到结论，造成证明过程的不完整和缺乏严密性，因此，当我们在用判定定理证明两直线为异面直线时，一定要注意判定定理的四个条件必须交待完整，缺一不可． 评注：本题充分体现了证明异面直线的两种方法：①反证法；②用例12的判定定理直接证明． 试解相关题 2.l 如图2．1．2—19，a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，E、F分别为线段AC和BD的中点，判断直线EF和a的位置关系，并证明你的结论． 参考答案：EF和a是异面直线，可用反证法证明． （2）两异面直线所成角的求法 求两条异面直线所成角的关键是作出异面直线所成的角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交．值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置． 【例3】S是边长为a正三角形ABC所在平面外一点，SA＝SB＝SC＝a，E、F分别是SC和AB的中点，（1）求异面直线SA与EF所成的角；（2）求异面直线AE和SF所成角的余弦值． 思路点拨 （1）如图2．1．2—20，∵ E是SC的中点，要平移SA使之与EF相交，只需取AC中点M，连EM，则EM为△ACS的中位线， ∴EM∥SA ∴EM与EF所成的角即为所求 （2）如图2．1．2—20，在△SCF中，只要把SF平移到E点就可以了，∵ E为SC中点， ∴仍考虑用三角形中位线来实现平移，取CF的中点G，连接GE∥SF ∴∠GEA（或其补角）即为SF