空间解析几何与向量代数学习指导.docVIP

第七章 空间解析几何与向量代数 在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。也为学习多元微积分做准备。 重点：曲面方程，曲线方程 难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。 （一） 1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。当，，的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。 2．空间向量可以从两个途径来认识： ①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：，等。 ②可由向量的坐标来把握向量。必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设的始点的坐标分别为，，则，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系： ，，。因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了。 当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。 3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。 4．一个平面具有各种形式的方程，如点法式，三点式，截距式，一般式。在学习平面的各种形式的方程时，对方程中常数的几何意义应引起充分的注意。如：平面方程，则为平面的一个法向量，建立平面的方程时应根据条件灵活处理。点法式方程是应用较方便，常用的方程类型，这是因为在讨论平面问题时，平面的法向量常常起着关键性的作用。 5．确定空间一条直线的方法很多，在《高等数学》中把它归结为由直线上的一个定点和与直线平行的一个非零向量来确定，或将它看成两个平面的交线。空间直线的标准式方程与参数式方程，二维空间中的直线均有对应的形式，但要注意，只有空间直线可看成两个平面的交线。 6．在《高等数学》中，常用的曲面方程为： 椭球面方程 ，当或或时为旋转椭球面，当时，为球面方程。 双曲面方程 锥面方程 抛物面方程 ，其中 柱面方程 ，母线平行于轴的柱面方程 ，母线平行于轴的柱面方程 旋转面方程 母线 （二） 1．向量在轴上的投影是个常用的概念，要注意向量在轴上的投影是一个数量而不是一个向量，也不是一个线段。 设向量，其中投影轴为，点，在轴上的投影分别为，，若取与轴同方向的单位向量为，则有 称为在轴上的投影。因此向量在轴上的投影不是有向线段，而是一个数值，记为，易知，其中为与轴的夹角。 2．向量在坐标轴上的投影称为向量的坐标。 3．向量的数量积，向量积一览表： 定义 ，其中是同时垂直于，的单位向量，且，，按右手系排列 坐标表示 ， ， 特征性质 即 即 几何应用 点到平面的距离为，(*1)，其中为平面的单位法向量，是上的任一点，当时，(*1)式给出动点所满足的平面的方程。 点到直线的距离为，(*2)，其中为直线上的单位向量，是直线上的任一点。当时，(*2)式给出动点所满足的直线的方程。 4．要熟练掌握平面，直线的各种形式的方程互化，关键在于明确在各种形式的方程中，各个量（常量、变量）的几何意义以及它们之间的关系，在此基础上，互化是容易做到的。如建立平面的三点式方程时，若硬记公式则不容易记牢的，但从三个向量共面的角度去思考就能牢牢地记住。 5．要深刻理解空间直角坐标系下平面的方程是一个关于，，的一次方程。反之，任何一个关于，，的一次方程都表示一个平面。 6．平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系均是通过平面的法向量间，直线的方向向量间，或平面法向量与直线的方向向量间的位置关系来讨论，因此可归结为向量问题来解决。如：两个平面间的夹角问题通过它们的法向量的夹角来解决。 7．常用的曲面方程见（A）中6，要真正掌握这些曲面的形状、特征，可以用“平行平面截割法”，也就是用一族平行平面（一般平行于坐标面）来截割曲面，研究所截得的一族曲线是怎样变化的，从这一族截线的变化情况即可推想出所表示的曲面的整体形状，这是认识曲面的重要方法，它的基本思想是把复杂的空间图形归结为比较容易认识的平面曲线。 8．空间曲线一般由两个曲面相交而得，这样