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章作业解答
2.1 已知某一区域中给定瞬间的电流密度,其中C是大于零的常量,求:在此瞬间,点(1,-1,2)处电荷密度的时间变化率;
解:由电流连续性方程 P26 (2.2-8)
所以电荷密度的时间变化率为:
在点(1,-1,2)处的电荷密度的时间变化率为 -18C 。
2.2 设在某静电场域中任意点的电场强度均平行于x轴。
证明:(1)与坐标y,z无关;(2)若此区域中没有电荷,则与坐标x无关。
证明:
(1)因为任意点的电场强度均平行于x轴,这说明电场强度的振动方向沿x方向,电场强度的表达式可写为
又因为是静电场,为有源无旋场,所以该电场强度的旋度为零。即
所以并且,这就说明分量Ex与坐标y,z无关,即电场强度与坐标y,z无关
(2)因为此区域没有电荷,这说明此区域没有电场的源,,电场的散度也为零,即,所以与坐标x无关。
2.5 从微分形式麦克斯韦方程组导出电流连续性方程
解:微分形式的麦克斯韦方程组
,其中和电流有关的是第一个全电流方程
因为矢量的旋度的散度恒为零,即,所以
即(因为是对空间坐标求导,是对时间求导,二者相互独立,可以互换)
也就是说,即电流连续性方程。得证。
2.6 试证明通过电容器的位移电流等于导线中的传导电流
证明:假设平行电容器之间的介质的介电常数为?,电容器的面积为S,电容器间距为d。根据图示可知,位移电流Id与传导电流If方向相同
根据定义位移电流密度为:;因为电场强度,所以。位移电流
其中电容器的电容
2.7线性各向均匀介质中某点的极化强度,,求这点的和
解:极化强度
所以,
所以电位移矢量
电场强度
2.9 有一个内、外半径分别为a和b,介质常数为 ??的介质球壳,其中有密度为??的均匀电荷,求任一点的电位移矢量及球壳内的极化电荷密度。
解:由球对称性可知,电位移矢量的方向沿着球的半径方向,大小随着半径r的变化而变化。根据积分形式的麦克斯韦定理
分段考虑:
若0 r a,则,
若,由于电荷均匀分布,则,
所以
若,由于电荷均匀分布,则,,所以
球壳内的极化电荷密度满足 (P24 2.1-23)
根据极化强度和电位移矢量之间的关系
即 (P25 2.1-31); (P25 2.1-32)
所以球壳内的极化电荷密度为
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