章实数.docVIP

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章实数

第一章 实数与函数 第一节 实 数 数学分析是讲述函数理论的最基本的课程,是几乎所有后继数学课程的奠基石,而数学分析关于函数的研究都是定义在实数集上的,因此,我们将先叙述实数的有关概念. 一、实数及其性质 在中学数学课程中,我们已经知道实数由有理数和无理数两大部分构成.每一个有理数即可以用分数为整数)来表示,也可以用无限十进循环小数或有限十进小数(可看成是从某位开始全为零的无限循环小数)来表示,而不能表示成分数的实数称为无理数. 实数主要有以下一些性质: 1.封闭性:任意两个实数在经过加、减、乘、除(除数不为0)运算后,所得的和、差、积、商仍然是实数. 2.有序性:任意两个实数必定满足下列三个关系之一: 3.稠密性:任意两个不相等的实数之间必会存在一个实数,并且既有有理数,也有无理数. 4.阿基米德(Archimedes)性:对任何两个实数,如果,则存在正整数,使得 5.传递性:对任意三个实数,若,则. 为方便起见.我们通常用来表示.即. 数轴是表示实数的一种几何方法,任一实数都与数轴上唯一一点形成对应,同样地,数轴上的每一点也唯一地对应着一个实数.正是由于所有实数与整个数轴上的点有着这样的一一对应关系,故在以后的描述中,对“实数”与“数轴上的点”不加以区别,视为具有相同的含义. 二、绝对值与不等式 从数轴上看,实数的绝对值就是点到原点的距离.数学中对实数的绝对值是这样定义的: . 绝对值有以下性质: 1.当且仅当时等号成立; 2.对任何实数,总有; 3.对于两实数和,有,,; 4.当时,或; ; 5.对于任何实数有 我们称该不等式为三角形不等式. 下面只给出性质5的证明,其它性质的证明由读者自行完成. 证明 由性质可知 由同向不等式的相加法则得到 再由性质4,上式等价于 ① 若将①式中改为,不等式仍然成立,即证明了右边的不等式. 又因为,根据①式有 所以 ② 将②中改为,即证明了②左边的不等式. 除了三角形不等式,我们经常还会用到以下两个不等式: 1. 平均值不等式 设为个正实数,则 其中和分别称为个实数的几何平均数与算术平均数. 2. 伯努利不等式 设为自然数,则有 此不等式可用中学数学中的数学归纳法加以证明. 第二节 数集及其确界 本节将为大家介绍实数集上的两类重要的数集——区间与邻域,然后讨论有界集,并给出作为极限的理论基础的确界定理. 一、区间与邻域 设且,我们规定: (1)满足的数集为开区间,记作; (2)满足的数集为闭区间,记作; (3)满足的数集为左闭右开区间,记作; (4)满足的数集为左开右闭区间,记作; 其中和统称半开半闭区间. 另外,我们用区间表示实数集,其中“”读作 “无穷大”.这样一来,我们可以用“”和“”表示以下的一些数集.如 注意 “”所在端点均为开区间. 若,我们把满足的所有实数称为点的邻域,记作 当不需要证明邻域半径时,通常是对某个确定的邻域半径,常将它写作,简称的邻域. 当数集中不包含点时,我们将满足的全体实数称为点的去心邻域,记作 同样地,当不需要注明邻域半径时,常将它写作,简称的去心邻域. 另外,还有下面几种邻域的概念及符号表示,供大家参考: (1)点的右邻域,简记为; (2)点的左邻域,简记为; (3)点的去心右邻域 ,简记为; (4)点的去心左邻域 ,简记为. 当为充分大的正数时,数集 , , , 分别称为邻域、邻域、邻域. 二、有界集及其确界 在讲述概念之前,首先为大家介绍几个量词符号: (1)符号 “”表示“任意” 或“任意一个”,它被认为是将英文字母A倒过来. (2)符号“”表示“存在”或“能

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