章插值与拟合.docVIP

第5章 插值与拟合 大多数数学建模问题都是从实际工程或生活中提炼出来的，往往带有大量的离散的实验观测数据，要对这类问题进行建模求解，就必须对这些数据进行处理。其目的是为了从大量的数据中寻找它们反映出来的规律。用数学语言来讲，就是要找出与这些数据相应的变量之间的近似关系。对于非确定性关系，一般用统计分析的方法来研究，如回归分析的方法。对于确定性的关系，即变量间的函数关系，一般可用数据插值与拟合的方法来研究。本章学习数据插值与拟和的基本方法和相关的MATLAB命令。 5.1 引例 简单地讲，插值是对于给定的n组离散数据，寻找一个函数，使该函数的图象能严格通过这些数据对应的点。拟合并不要求函数图象通过这些点，但要求在某种准则下，该函数在这些点处的函数值与给定的这些值能最接近。 例1：对于下面给定的4组数据，求在处的值。 100 121 144 169 10 11 12 13 这就是一个插值问题。我们可以先确定插值函数，再利用所得的函数来求处的近似值。需要说明的是这4组数据事实上已经反映出与的函数关系为：，当数据量较大时，这种函数关系是不明显的。也就是说，插值方法在处理数据时，不论数据本身对应的被插值函数是否已知，它都要找到一个通过这些点的插值函数，此函数是被插值函数的一个近似，从而通过插值函数来计算被插值函数在未知点处的近似值。对于所构造的插值函数要求相对简单，便于计算，一般选用多项式函数来逼近。 例2：观测物体的直线运动，得以下数据，求物体的运动方程。 （秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 （米） 0 10 30 50 80 110 这是一个拟合问题，其明显的特征是与数据对应的函数未知，要找到一个函数来比较准确地表述这些数据蕴藏的规律。显然，我们找出的函数不一定会通过这些点，也没有必要，因为观测数据本身并不是完全准确的。 5.2 理论基础：数据插值与拟合 5.2.1插值问题的原理与方法 以一维多项式插值方法为例。一般地，对于给定的n+1组数据，互不相等，确定一个n次多项式，使。其中称为插值函数，为插值节点，为插值区间，为插值条件。 当时为线性插值。表示过两点的直线方程，即 ， 稍加整理，即得 。 记 ，， 则它们满足：。 称为基函数，那么是两个基函数的线性组合。 当时为抛物插值。表示过三点的抛物线方程，仿照线性插值的情形取基函数，，，使它们满足 ， 则可表示为三个基函数的线性组合，即 。 下面针对一般情况给出一个结论： 定理：满足插值条件的次数不超过n的插值多项式是存在且唯一的。（其证明过程只需用到线性方程组解的克来姆法则和范德蒙行列式的性质，这里不再赘述。） 由上述结论可知，满足插值条件的即为所求。不失一般性，满足插值条件的n次多项式为： ，其中基函数。 几点说明： 1、项式插值的基函数仅与节点有关，而与被插值的原函数无关； 2、值多项式仅由数对确定，而与数对的排列次序无关； 3、述多项式插值又称为拉格朗日插值，多项式插值除上述方法外，还有牛顿（newton）插值法和埃尔米特（hermite）插值法等，可参看有关数值分析的书籍。 5.2.2 拟合问题的原理与方法 根据前述的拟合问题，其关键在于准则的选取，选取的准则不同，其对应的拟合方法及其复杂程度也不相同。对于一维曲线拟合，设n个不同的离散数据点为，要寻找的拟合曲线方程为，记拟合函数在处的偏差为，常用的准则有： 准则1：选取，使所有偏差的绝对值之和最小，即 。 准则2：选取，使所有偏差的绝对值的最大值最小，即 。 准则3：选取，使所有偏差的平方和最小，即 。 相对而言，准则3最便于计算，因而通常根据准则3来选取拟合曲线。准则3又称为最小二乘准则，对应的曲线拟合方法称为最小二乘法。 确定了准则之后，就该确定拟合函数的形式了，这是一个难点。一般的做法是首先绘出所给数据的散点图，观察数据所呈现出来的曲线的大致形状，再结合该问题所在专业领域内的相关规律和结论，来确定拟合函数的形式。实际操作时可在直观判断的基础上，选几种常用的曲线分别进行拟合，比较选择拟合效果最好的曲线。常用的曲线有直线、多项式、双曲线和指数曲线等。 拟合函数一旦确定之后，剩下的工作就是根据给定的数据确定拟合函数中的待定系数，如最简单的直线拟合，中就有两个系数需要确定。根据这些待定系数在拟合函数中出现的形式，曲线拟合又可分为线性曲线拟合和非线性曲线拟合。一般地，如果拟合函数中的系数全部以线性形式出现，如多项式拟合函数，则称为线性曲线拟合；若拟合函数中的系数不能全部以线性形式出现，如指数拟合函数，则称为非线性曲线拟合。下面以线性多项式曲线拟合为例来介绍曲线拟合的一般方法。 一般地，对于给定的n组数据，要要寻找一个m次多项式满足准则3，即使 由多元函数极值存在的必要条件，