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章机械振动
第 五 章 机械振动
5-1一个质点作简谐运动,振幅为,在起始时刻质点的位移为,且向x轴正方向运动,代表此简谐运动的旋转矢量为( )
5-2 已知某简谐运动的振动曲线如图所示,则此简谐运动的运动方程(x的单位为 cm,t的单位为 s)为( )
(A) (B)
(C) (D)
5-3两个同周期简谐运动曲线如图所示,的相位比的相位( )
(A)落后 (B)超前 (C)落后 (D)超前
5-4当质点以频率作简谐运动时,它的动能的变化频率为( )
(A) (B) (C) (D)
5-5图中所画的是两个简谐运动的曲线,若这两个简谐运动可叠加,则合成的余弦振动初相位为( )
(A) (B) (C) (D)0
5-6一质点做简谐振动,周期为s,起始时刻质点对平衡位置的位移为 m,速度。求:
(1)此谐振动表达式。
(2)时质点的位置、速度、加速度。
解:(1)由题意知s
m
因为为正, 亦为正,故在象限,所以 , 谐振动方程式为:
m
(2)s时,位置、速度、加速度分别为
m.s
5-7设一物体沿轴作谐振动的方程为,式中,的单位分别为,.试求:
(1)振幅,周期,频率和初相;
(2)时,物体的位移、速度和加速度.
解:(1)谐振动的标准方程为,比较题中所给方程和标准方程,知振幅,角频率,初相.由此,
周期为 频率为
(2)时,
物体位移
速度
加速度
5-8有一弹簧,当其下端挂一质量为的物体时,伸长量为9.8×10-2 m。若使物体上、下振动,并规定向上为正方向。
(1)当t=0时,物体在平衡位置下方4.0×10-2 m处,由静止开始向上运动,求运动方程。
(2)当t=0时,物体在平衡位置并处以0.2的速度向下运动,求运动方程。
解:(1)根据题给的条件, m, (题取向上为正方向,且平衡位置处为原点)且 m,其旋转矢量应为如图9-3-1图位置,所以。
又 ,而 ,所以
s
所以谐振动方程:
m
(2)据题意,时,, m.s,其旋转矢量应为如图9-4-2图位置则得
m
(的投影有上、下两个矢量,
但为负值,故只能选上面的矢量),所以谐振
动方程为
m。
5-9做简谐振动的物体,由平衡位置向轴正方向运动,试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几?
(1)由平衡位置到最大位移处;(用旋转式量方法)
(2)由平衡位置到处;(3)由处到最大位移处。(用旋转式量方法)
解 :(1)作旋转矢量如图9-5-1图,
得
因为求的是最短时间,故取向下的
旋转矢量,所以
(2)如图9-5-2图,
(3)同理
。
5-10某振动质点的曲线如9-6图所示,试求:
(1)振动的周期和初相;
(2)点位置所对应的相位和时刻。
解(1)由曲线知,时 ,m=,作旋转矢量如图9-6-1图所示,
。由旋转矢量得,s时
所以s
所以运动周期为: s 。
(2)如图9-6-2图,
,即
所以 s 。
5-11质量为0.10kg的物体,以振幅作简谐运动,其最大速度为4.0。求:
(1)振动的周期;
(2)物体通过平衡位置时的总能量与动能;
(3)物体在何处其动能和势能相等;
(4)当物体的位移大小为振幅的一半时,动能、势能各占总能量的多少?
解:(1) ,,所以
s.
(2)此时 J
(3)设在处,则
m
(4)
。
5-12已知同方向、同频率的两简谐运动的运动方程分别m;m。求:
(1)合振动的振幅及初相;
(2)若有另一同方向、同频率的简谐振动m,则为多少时,的振幅最大?又为多少时,的振幅最小?
解(1)作两个简谐运动合成的旋转矢量图(如9-8-1图),
因为,故合振动振幅
为
m
合振动初相位
(2)使振幅最大,即两振动同相,则由得
,
要使的振幅最小,即两振动反向,则由得
,
5-13如9-9图所示,质量为kg的子弹,以的速度射人木块,并嵌在木块中,同时使弹簧压缩从而作简谐运动。设木块的质量为kg,弹簧的劲度系数为,若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点,向左为轴正向,求简谐振动方程。
解 计子弹射入木块时为时刻,弹簧原长处为原点,则
m.s
由旋转矢量(9-9-1图)得
又s ,所以
m
所以振动方程为
m。
5-14一弹簧振子系统,物体的质量kg,弹簧的劲度系数是。系统振动时受到阻尼作用,其阻尼系数s.为了使振动持续,
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