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等边角形性质判定

14.7 等边三角形 【教学目标】 1、理解等边三角形是特殊的等腰三角形,是轴对称性图形; 2、掌握等边三角形的性质和判定,能够利用它进行计算与说理; 3、经历等边三角形判定方法的讨论、发现、归纳、说理过程,初步感悟分类讨论的思想. 【教学重点】 等边三角形的性质和判定的掌握 【教学难点】 用等边三角形的性质和判定进行说理 环节 过程与内容 教法说明 一.复习引入 问题:等腰三角形的概念是什么? 生:两条边相等的三角形是等腰三角形 问题:等边三角形的概念是什么? 生:三条边都相等的三角形是等边三角形 类比等腰三角形的概念,回顾等边三角形的概念,由两条边相等到三条边都相等的特殊情况。 二.探究新知 1.等边三角形的性质: (1)回顾等腰三角形边的性质:两边相等 类比得出等边三角形的边的性质:三边相等 符号语言: ∵△ABC是等边三角形(已知) ∴AB=BC=AC(等边三角形的三条边相等) (2)回顾等腰三角形角的性质:等边对等角 类比得出等边三角形角的性质:三角相等,且都为60° 符号语言: ∵△ABC是等边三角形(已知) ∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的每个内角都为60°) (3)具备等腰三角形的所有性质,包括等腰三角形三线合一。 2.等边三角形的判定: 问题4:对于一个三角形的三条边满足什么条件可以成为等边三角形? (学生回答) 答:三边相等(根据定义) 等边三角形的判定1: 三条边都相等的三角形是等边三角形。 符号语言:(学生叙述) ∵ AB=AC=BC(已知) ∴△ABC是等边三角形 (三条边相等的三角形是等边三角形) 问题5:对于一个三角形的三个角满足什么条件就可以成等边三角形?为什么? (学生回答) 答:三个角都相等 根据等角对等边可得三条边两两相等,再根据定义可得出它是等边三角形 等边三角形的判定2: 三个角都相等的三角形是等边三角形。 符号语言:(学生叙述) ∵ ∠A= ∠B=∠C=60°(已知), ∴△ABC是等边三角形 (三个内角都相等三角形是等边三角形) 问题6:三个角都相等的三角形是等边三角形,那么一个三角形满足两个角相等呢? 答:它也是等边三角形,根据三角形内角和等于180°,可得出第三个角也是60° 问题7:如果三角形里只有一个角是60°,是否就是等边三角形呢?如果不是,那么还需要 添加什么条件? (学生四人一小组讨论) 答:添加的条件:这个三角形是等腰三角形。 (1)在一个等腰三角形中,若AB=AC,∠A=60°,判定它是等边三角形。 (2)在一个等腰三角形中,若AB=AC,∠B=60°,判定它是等边三角形。 等边三角形的判定3:(学生自行总结) 有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形。 ∵ AB=AC, ∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°), ∴△ABC是等边三角形 (有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形) 3.小结判定方法: 三角形+三条边相等→等边三角形 三角形+三个角相等→等边三角形 等腰三角形+一个角为60°→等边三角形 复习等腰三角形的性质,类比等腰三角形的性质,得出等边三角形的性质,体现了等边三角形是特殊的等腰三角形。 问题5→问题6→问题7:从三个角为60°,到两个角为60°,再到一个角为60°的讨论,体现了判定方法之间的联系。 对于判定方法3的探讨中体现了分类讨论的思想。 三.例题分析 例题:如图,在等边三角形ABC的边BC上任取一点D,以CD为边向外作等边三角形CDE.联结AD,BE,试说明BE=AD. (学生读题,在图中标已知条件) 提问:(1)根据等边三角形,可以得出哪些60°的角? (2)根据等边三角形,可以得出哪些边相等? 分析:要证明两条边相等,就是证明这两条边所在的两个三角形全等。现在有AC=BC,CD=CE两个条件,第三个条件有两种情况,一种是第三边对应相等(题目里求证),另一种是找两组边的夹角。 解:因为△ABC是等边三角形(已知),       所以 AC=BC, ∠ACD=60°(等边三角形性质).  因为△CDE是等边三角形(已知) 所以CD=CE, ∠BCE=60.(等边三角形性质)          所以∠ACD=∠BCE (等量代换) 在△ACD与△BCE中,                     AC=BC(已证), ∠ACD=∠BCE(已证), CD=CE(已证), 所以△ACD≌△BCE(S.A.S), 所以BE

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