类曲线曲面积分(续).docVIP

第八章 曲线积分与曲面积分（续） 上次课介绍了第一类曲线积分的定义、第一类曲线积分的计算方法以及第一类曲面积分的定义。从定义可以看出第一类曲线、曲面积分实际上是定积分的推广。 若函数在曲线弧上连续，参数方程为 　（） 其中，且与不同时为零． 则 上面公式表明，计算对弧长的曲线积分只须依次将代入到积分中对其从到求定积分即可（这里积分下限始终小于上限）． 积分曲线为空间曲线的情形时有 计算下列第一类曲线积分P186 2(4)(7)(8) （4）,为球面与平面的交线 解 将代入得 令则，， （7），为曲线，，上相应于从变到的一段弧，为上的切向量，指向参数增加的方向， 解 ， （8），为椭圆周，为的外法向量， 解 记，则的外法线方向向量为 单位法向量为 的参数方程为：， 第一类曲面积分定义 数量值函数在曲面上的积分又称为第一类曲面积分． 可以证明，如果函数在上连续，则第一类曲面积分一定存在． 如果积分曲面为封闭曲面，习惯上写成． 同样第一类曲面积分具有线性性质以及关于积分曲面具有可加性． 二、第一类曲面积分的计算 第一类曲面积分可以化为二重积分来计算． 设曲面方程为，该曲面在面上的投影区域为，函数在上连续，则 下面解释一下上面公式． 由于在上取值，所以被积函数中用表示，被积函数成为，而曲面面积元素，由二重积分应用可知 同样，如果积分曲面由或表示．也有类似的计算公式． 例1　计算曲面积分，其中是夹在平面（）与平面之间的一部分． 解　的方程为，（） 这里为投影区域． 于是有 例2 计算，其中是由圆柱面，平面和所围立体的表面． 解　由顶面、底面和侧面构成，见下图 对于，方程为，． ． 对于，． 对于，被面分为两块，它们的方程分别为和，它们在面上的投影区域均为，用不等式组表示为，并且都有 于是　 　　　　　　 于是 三、数值函数在几何形体上的积分及其物理应用综述 从已经学过的积分的定义来看，研究的都是数值函数，并且都是通过：分割几何形体，求函数值与小几何形的度量的乘积，求乘积之和，取极限． 于是以前学过的几种积分的定义可以统一叙述如下 定义　设是一个几何形体（它可以是直线段、平面区域、空间区域、曲线、曲面），是上的有界数量值函数．将几何形体任意分成若干个小几何形体，，并把的度量记为（）（它是长度、面积、或为体积）．在每一中任取一点，作和式 （） 并记的最大直径，如果当时，这和的极限总存在，则称此极限值为函数在几何形体上积分，记作，即 ． 在此定义下，当分别为区间、平面区域、空间区域、曲线、曲面时，分别表示如下的积分： ，， ， 对于数值函数的物理应用，无论是哪种形体，都有如下公式 的质量　 的质心坐标　，， 绕轴、轴、轴和坐标原点的转动惯量 ，， ， 对于以外一点处单位质量质点的引力 ，， 小结 第一类曲面积分的计算 数值函数在几何形体上的积分以及物理应用综述 多元函数积分学 3 9