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系统估计
第十九章 系统估计
本章讲述的内容是估计联立方程组参数的方法。包括最小二乘法LS、加权最小二乘法WLS、似乎不相关回归法SUR、二阶段最小二乘法TSLS、加权二阶段最小二乘法W2LS、三阶段最小二乘法3LS、完全信息极大似然法FIML和广义矩法GMM等估计方法。
§19.1 理论背景
模型系统就是一组包含未知数的方程组。以一个由国内生产总值（Y）、居民消费总额（C）、投资总额（I）、政府消费额（G）和短期利率（r）等变量构成的简单的宏观经济系统为例：
（19.1）
其中，前两个方程是行为方程，第三个方程表示国内生产总值在假定进出口平衡的情况下，由居民消费、投资和政府消费共同决定，是一个衡等方程，也称为定义方程。这就是一个简单的描述宏观经济的联立方程模型。在联立方程模型中，对于其中每个方程，其变量仍然有被解释变量与解释变量之分。但是对于模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变量。对于同一个变量，在这个方程中作为被解释变量，在另一个方程中则可能作为解释变量。对于联立方程系统而言，将变量分为内生变量和外生变量两大类，外生变量与滞后内生变量又被统称为前定变量。一般的联立方程系统形式是：
(19.2)
这里是一个内生变量向量，是外生变量向量，可以是序列相关的扰动项向量。估计的任务是寻找参数向量的估计量。
EViews提供了估计系统参数的两类方法。一类方法是使用前面讲过的单方程法对系统中的每个方程分别进行估计。第二类方法是同时估计系统方程中的所有参数，这种同步方法允许对相关方程的系数进行约束并且使用能解决不同方程残差相关的方法。这里，应该区分系统和模型的差别。模型是一组描述内生变量关系的已知方程组，给定了模型中外生变量的值可以使用模型对内生变量求值。
§19.2 系统估计方法
下面的讨论是以线性方程的组成的平衡系统为对象的，但是这些分析也适合于包含非线性方程的非平衡系统。若一个系统，含有M个方程，用分块矩阵形式表示如下：
(19.3)
这里ym是T维向量，Xm是T×km矩阵，βm是km维的系数向量，误差项的协方差矩阵是MT×MT的方阵V。我们简单的将其表示为：
(19.4)
在标准假设下，系统残差的协方差阵为：
(19.5)
式中算子表示克罗内克积(Kronecker Product)简称叉积来对这两种情况进行区分，的第i行第j列的元素是，对所有t都成立。如果残差是同期不相关的，若i≠j,则，V可以写成：
(19.6)
更一般的，如果残差是异方差且同期相关的，则V可以写成：
(19.7)
最后，最一般的情况是存在异方差、同期相关的同时，残差是自相关的，残差的方差矩阵应写成：
(19.8)
这里，是第i个方程和第j个方程的自相关矩阵。系统中方程可以是线性的也可以是非线性的，还可以包含自回归误差项。下面是各种估计方法。
一、普通最小二乘法（Ordinary Least Squares , LS）
这种方法是在联立方程中服从关于系统参数的约束条件的情况下，使每个方程的残差平方和最小。如果没有这样的参数约束，这种方法和使用单方程普通最小二乘法估计每个方程式一样的。
二、加权最小二乘法(Weighted Least Squares , WLS)
这种方法通过使加权的残差平方和最小来解决联立方程的异方差性，方程的权重是被估计的方程的方差的倒数，来自未加权的系统参数的估计值。如果方程组没有联立约束（参数、异方差），该方法与未加权单方程最小二乘法产生相同的结果。
三、似乎不相关回归(Seemingly Unrelated Regression , SUR)
该方法也称作多元回归法或Zellner法，既考虑到异方差性也考虑到不同方程的误差项的相关性。对联立方程协方差阵的估计是建立在对未加权系统的参数估计基础上的。注意到因为EViews考虑了联立方程间的约束，所以可以估计更为广泛的形式。
四、二阶段最小二乘法(Two-Stage
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