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线性代数各知识点概述
线性代数辅导
东南大学数学系
2006年11月
目 录
第一部分 行列式
第二部分 矩阵的运算
第三部分 矩阵的初等变换和矩阵的秩
第四部分 向量组的线性相关性和向量组的秩
第五部分 线性方程组
第六部分 相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量
第七部分 实对称矩阵和二次型
第八部分 空间解析几何
第一部分 行列式
定义
1.定义 设,则
是项代数和;不同行,不同列;正、负号。
是不是4阶行列式中展开式中的项,正、负号是什么?不是
中的系数。
2.注:(1). 对角线法则一般地不再成立。举例。
(2). 记住上、下三角阵的行列式。
性质
性质
行列式的基本性质;
按行(列)展开;
乘法定理。
需记住的结果:
Vandermonde行列式;
分块上、下三角阵的行列式。
例:
已知,,,求。
【例4】已知。求。
注:
矩阵的加法、数乘之后的行列式;
容易出现的错误:
;
;
分块矩阵的行列式.
计算
典型方法:
化成低阶行列式;
化成三角形行列式。
注:很少直接用定义计算;应先化简,后计算。
例
【例5】 ;
【例6】 ;
【例7】 ,均不为零;
【例8】 ;
【例9】;
【例10】;
第二部分 矩阵的运算
矩阵的乘法
运算规律
【例1】,
,,
。
【例2】假设是维非零列向量,。证明:是对称矩阵,且。
应当注意的问题
矩阵记号与行列式记号的差别;
单位矩阵(用或表示)的每个元素都等于1吗? 不是
矩阵乘法含有非零零因子,因而乘法消去律不成立;
【例3】 。
【例4】 满足满足什么条件时,由就能推出?
矩阵乘法不可交换,因而一些代数恒等式不再成立。
【例5】平方差公式。
【例6】二项式定理。
【例7】设,求。
【例8】与对角阵可交换的矩阵是否一定是对角阵?
不一定,任意方阵与单位阵都是可交换的。
可逆矩阵
可逆的条件
行列式不为零;
秩等于阶数;
存在另一矩阵使它们的乘积是单位阵;
特征值全不为零。
逆矩阵的计算
利用伴随矩阵:一般只对低阶矩阵,如二阶矩阵用这种方法。但要注意二阶矩阵的伴随矩阵是如何定义的。
利用初等变换:要注意避免过繁的运算。
【例9】求矩阵的逆矩阵
重要性质,如
可逆矩阵肯定不是零因子;
;
对于方阵,若存在矩阵使得,则是可逆的,且;
。
【例10】已知,证明是可逆的,并求其逆。
【例11】已知。
证明:可逆,并求;
可逆,并求其逆;
【问题】:假设阶矩阵满足。证明矩阵及均可逆,并分别求及;证明:若,矩阵肯定不可逆。
伴随矩阵
定义; 如求矩阵的伴随矩阵
;
若可逆,则。
【例12】已知,求。
【例13】假设,证明。
矩阵方程
各种类型的矩阵方程,正确化简成标准形式,正确求解。
标准形式的矩阵方程的求解可以先求逆矩阵,再求乘积得解,或直接有初等变换求解。可以进行验算!
【例14】设矩阵,矩阵满足,求。
矩阵的分块运算
分块矩阵的乘法规则的成立是有条件的:小矩阵间的运算要有意义,或左边的因子的列的分法与右边的因子的行的分法一致
;
;
【例15】求。
【例16】已知矩阵,其中是可逆矩阵,求。
注意:不能滥用分块。如:行列式;伴随矩阵等。
第三部分 矩阵的初等变换和矩阵的秩
概念
讨论什么问题可以用初等行、列变换。有时只能用行变换,不能用列变换;
求相抵标准型要同时用初等行、列变换。解方程组,求逆矩阵,求极大无关组都只能用初等行变换,不能用列变换。
行向量组等价的矩阵一定是等价的。等价的矩阵的行向量组等价吗?
等价的矩阵的行向量组不一定等价,因为等价的矩阵可能做了初等列变换。
讨论矩阵的秩
初等变换与矩阵乘法
初等变换与初等矩阵的乘积;
【例2】已知可逆,交换其第一、三两行的得矩阵,求。
矩阵的等价标准形;
若,则一定存在可逆矩阵,使得。
证明矩阵的满秩分解定理,分解成秩为1的矩阵的和。
用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵,解矩阵方程。
矩阵的运算与秩
(1)
(2)
(3)
(4)
若,则
【例4】假设满足,证明:。
【例5】假设是矩阵,且。若,则必有。
【例6】假设,是矩阵。证明。
第四部分 向量组的线性相关性和向量组的秩
什么叫线性相关、线性无关?什么叫向量组的极大无关组,秩?重要结论。
定义;
简单性质:含零向量的向量组一定线性相关等;
两个向量线性相关当且仅当其分量成比例;
问题:如果三个向量中的任意两个向量的分量都不成比例,是否线性无关?
不一定,可能有某一行可以由其他两行线性表示。
向量组的秩与矩阵的秩的关
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