线性代数各知识点概述.docVIP

线性代数辅导 东南大学数学系 2006年11月 目 录 第一部分 行列式 第二部分 矩阵的运算 第三部分 矩阵的初等变换和矩阵的秩 第四部分 向量组的线性相关性和向量组的秩 第五部分 线性方程组 第六部分 相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量 第七部分 实对称矩阵和二次型 第八部分 空间解析几何 第一部分 行列式 定义 1．定义 设，则 是项代数和；不同行，不同列；正、负号。 是不是4阶行列式中展开式中的项，正、负号是什么？不是 中的系数。 2．注：（1）. 对角线法则一般地不再成立。举例。 （2）. 记住上、下三角阵的行列式。 性质 性质 行列式的基本性质； 按行（列）展开； 乘法定理。 需记住的结果： Vandermonde行列式； 分块上、下三角阵的行列式。 例： 已知，，，求。 【例4】已知。求。 注： 矩阵的加法、数乘之后的行列式； 容易出现的错误： ； ; 分块矩阵的行列式. 计算 典型方法： 化成低阶行列式； 化成三角形行列式。 注：很少直接用定义计算；应先化简，后计算。 例 【例5】 ； 【例6】 ； 【例7】 ，均不为零； 【例8】 ； 【例9】； 【例10】； 第二部分 矩阵的运算 矩阵的乘法 运算规律 【例1】， ，， 。 【例2】假设是维非零列向量，。证明：是对称矩阵，且。 应当注意的问题 矩阵记号与行列式记号的差别； 单位矩阵（用或表示）的每个元素都等于1吗？ 不是 矩阵乘法含有非零零因子，因而乘法消去律不成立； 【例3】 。 【例4】 满足满足什么条件时，由就能推出？ 矩阵乘法不可交换，因而一些代数恒等式不再成立。 【例5】平方差公式。 【例6】二项式定理。 【例7】设，求。 【例8】与对角阵可交换的矩阵是否一定是对角阵？ 不一定，任意方阵与单位阵都是可交换的。 可逆矩阵 可逆的条件 行列式不为零； 秩等于阶数； 存在另一矩阵使它们的乘积是单位阵； 特征值全不为零。 逆矩阵的计算 利用伴随矩阵：一般只对低阶矩阵，如二阶矩阵用这种方法。但要注意二阶矩阵的伴随矩阵是如何定义的。 利用初等变换：要注意避免过繁的运算。 【例9】求矩阵的逆矩阵 重要性质，如 可逆矩阵肯定不是零因子； ； 对于方阵，若存在矩阵使得，则是可逆的，且； 。 【例10】已知，证明是可逆的，并求其逆。 【例11】已知。 证明：可逆，并求； 可逆，并求其逆； 【问题】：假设阶矩阵满足。证明矩阵及均可逆，并分别求及；证明：若，矩阵肯定不可逆。 伴随矩阵 定义；　如求矩阵的伴随矩阵 ； 若可逆，则。 【例12】已知，求。 【例13】假设，证明。 矩阵方程 各种类型的矩阵方程，正确化简成标准形式，正确求解。 标准形式的矩阵方程的求解可以先求逆矩阵，再求乘积得解，或直接有初等变换求解。可以进行验算！ 【例14】设矩阵，矩阵满足，求。 矩阵的分块运算 分块矩阵的乘法规则的成立是有条件的：小矩阵间的运算要有意义，或左边的因子的列的分法与右边的因子的行的分法一致 ； ； 【例15】求。 【例16】已知矩阵，其中是可逆矩阵，求。 注意：不能滥用分块。如：行列式；伴随矩阵等。 第三部分 矩阵的初等变换和矩阵的秩 概念 讨论什么问题可以用初等行、列变换。有时只能用行变换，不能用列变换； 求相抵标准型要同时用初等行、列变换。解方程组，求逆矩阵，求极大无关组都只能用初等行变换，不能用列变换。 行向量组等价的矩阵一定是等价的。等价的矩阵的行向量组等价吗？ 等价的矩阵的行向量组不一定等价，因为等价的矩阵可能做了初等列变换。 讨论矩阵的秩 初等变换与矩阵乘法 初等变换与初等矩阵的乘积； 【例2】已知可逆，交换其第一、三两行的得矩阵，求。 矩阵的等价标准形； 若，则一定存在可逆矩阵，使得。 证明矩阵的满秩分解定理，分解成秩为1的矩阵的和。 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，解矩阵方程。 矩阵的运算与秩 （1） （2） （3） （4） 若，则 【例4】假设满足，证明：。 【例5】假设是矩阵，且。若，则必有。 【例6】假设，是矩阵。证明。 第四部分 向量组的线性相关性和向量组的秩 什么叫线性相关、线性无关？什么叫向量组的极大无关组，秩？重要结论。 定义； 简单性质：含零向量的向量组一定线性相关等； 两个向量线性相关当且仅当其分量成比例； 问题：如果三个向量中的任意两个向量的分量都不成比例，是否线性无关？ 不一定，可能有某一行可以由其他两行线性表示。 向量组的秩与矩阵的秩的关