线性变换视角下的道向量陈题.docVIP

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线性变换视角下的道向量陈题

线性变换视角下的一道向量陈题 南通建筑职业技术学校 杨忠 G波利亚说过,没有一道可以做得完的题目。确实一个看似简单普通的问题,如果定下心来,从不同的角度去探究,往往会有令人惊喜的发现。【文1】对下面问题的探究便是一个很好的例子。问题如下: 设,为平面内不共线的两个向量,且,,则共线的充要条件为. 【文1】对这个问题中“”这一条件作变化,探究后得到了以下几个结论: 定理1设O与AB是平面内一定点与一定直线,且,动点C满足, 当时,动点的轨迹为直线 (2) 当时,动点的轨迹为直线(过点O) (3) 当时,动点的轨迹为直线 指向一侧的平面区域为,指向一侧的平面区域为, 定理2设为平面内不共线三点,,过与直线平行的直线为,则满足的动点的轨迹是一条平行(重合)于的直线. 当时,在内且与之间的距离为 当时,即为 当时,在内且与之间的距离为 【文1】进一步对,取某个区间内取值时及当满足关系式,(,为常数)时点C的轨迹作了研究.读了【文1】笔者深受启发,产生了进一步想法:如果,中,系数满足了,则点的轨迹又如何?又若满足了时,则点的轨迹又如何?再若是空间中不共面的三个向量,,当时,动点的轨迹又如何呢? 为此,笔者用几何画板作了如下探究: ,当时,动点的轨迹1如图1,根据图形,可以猜想的轨迹是一椭圆; ,当时,动点的轨迹如图2,根据图形,可以猜想的轨迹是双曲线; 猜想是否正确,如何确定点的轨迹方程呢?以【文1】类似思路去考虑这个问题,似乎不易解决.现在设,,(是坐标基底向量) 即(令) 由于不共线,可逆,记,故,由则 化简可得动点的轨迹; 以相同的思路可以得到当,时,动点的轨迹; 从以上解题过程看出,如果,,系数满足了,则点的轨迹可以看成由单位圆作线性变换所得的图形;如果,,系数满足了时点的轨迹可以看成由双曲线作线性变换所得的图形,而【文1】所得的结论本质为如果,,系数满足了时点的轨迹为对直线进行线性变换后所得的直线。更一般的结论是:如果,,系数满足了时点的轨迹为对进行线性变换后所得的方程。 再考虑是空间中不共线的三个向量,,当时,动点的轨迹如何,可以考虑相同的思路处理: 为空间中过三点的平面,是坐标向量,, 设,又有 即令 故动点的轨迹为对平面作线性变换得到的平面。 这里,再指出【文1】给出的定理2值得商榷之处:与的距离为。事实上,如图3由于点O在直线上,与的距离即为点O到的距离,如图: 动点满足, 当时,动点的轨迹为直线,动点满足, 时,动点的轨迹为直线 则 令,,,由于故点的轨迹即为直线,由与的相似性,记O到的距离为,则O到的距离为,即与的距离为 参考文献: [1]陈定昌.陈题新探[J].数学通讯,2013(3). 图1 图2 图3

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