线性变换视角下的道向量陈题.docVIP

线性变换视角下的一道向量陈题 南通建筑职业技术学校 杨忠 G波利亚说过，没有一道可以做得完的题目。确实一个看似简单普通的问题，如果定下心来，从不同的角度去探究，往往会有令人惊喜的发现。【文1】对下面问题的探究便是一个很好的例子。问题如下： 设，为平面内不共线的两个向量，且，，则共线的充要条件为． 【文1】对这个问题中“”这一条件作变化，探究后得到了以下几个结论： 定理1设O与AB是平面内一定点与一定直线，且，动点C满足， 当时，动点的轨迹为直线 （2） 当时，动点的轨迹为直线（过点O） （3） 当时，动点的轨迹为直线 指向一侧的平面区域为，指向一侧的平面区域为， 定理2设为平面内不共线三点，，过与直线平行的直线为，则满足的动点的轨迹是一条平行（重合）于的直线. 当时，在内且与之间的距离为 当时，即为 当时，在内且与之间的距离为 【文1】进一步对，取某个区间内取值时及当满足关系式，（，为常数）时点Ｃ的轨迹作了研究．读了【文１】笔者深受启发，产生了进一步想法：如果，中，系数满足了，则点的轨迹又如何？又若满足了时，则点的轨迹又如何？再若是空间中不共面的三个向量，，当时，动点的轨迹又如何呢？ 为此，笔者用几何画板作了如下探究： ，当时，动点的轨迹1如图1，根据图形，可以猜想的轨迹是一椭圆； ，当时，动点的轨迹如图2，根据图形，可以猜想的轨迹是双曲线； 猜想是否正确，如何确定点的轨迹方程呢？以【文1】类似思路去考虑这个问题，似乎不易解决.现在设，，（是坐标基底向量） 即（令） 由于不共线，可逆，记，故，由则 化简可得动点的轨迹； 以相同的思路可以得到当，时，动点的轨迹； 从以上解题过程看出，如果，，系数满足了，则点的轨迹可以看成由单位圆作线性变换所得的图形；如果，，系数满足了时点的轨迹可以看成由双曲线作线性变换所得的图形，而【文1】所得的结论本质为如果，，系数满足了时点的轨迹为对直线进行线性变换后所得的直线。更一般的结论是：如果，，系数满足了时点的轨迹为对进行线性变换后所得的方程。 再考虑是空间中不共线的三个向量，，当时，动点的轨迹如何，可以考虑相同的思路处理： 为空间中过三点的平面，是坐标向量，， 设，又有 即令 故动点的轨迹为对平面作线性变换得到的平面。 这里，再指出【文1】给出的定理2值得商榷之处：与的距离为。事实上，如图3由于点O在直线上，与的距离即为点O到的距离，如图： 动点满足， 当时，动点的轨迹为直线，动点满足， 时，动点的轨迹为直线 则 令，，，由于故点的轨迹即为直线，由与的相似性，记O到的距离为，则O到的距离为，即与的距离为 参考文献： [1]陈定昌.陈题新探[J].数学通讯,2013(3). 图1 图2 图3