线性方程组的解法复习试题.docVIP

线性方程组的解法 在科学和工程计算中，大量的科技和工程实际问题常常归结为解线性方程组（Linear Systems of Equations），如电学中的网络问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题等都导致解线性代数方程组。本章我们主要介绍解线性方程组的数值解法。常用的数值方法可分为两大类。第一类是直接方法，在不考虑舍入误差的情况下，可通过有限次算术运算求得准确解。克莱姆法则就是一种直接法。但是方程组的阶数较高时它的运算量太大，实际无法使用。第二类是迭代方法，迭代法是从某一个取定的初始向量出发，构造一个适当的迭代公式，逐次计算出向量,，使得向量序列收敛于方程组的精确解。这样，对适当大的，可取作为方程组的近似解。 为了讨论线性方程组的数值解法，我们首先复习一些线性代数的基础知识。 第一节 矩阵基础知识 一、线性方程组及其一般解法 设有元线性方程组 （3-1） 若令 ， ， 则其矩阵形式为 （3-2） （1）至少有零解，且当且仅当A的秩＝时，齐次方程组只有零解。 （2）有非零解的充要条件是A的秩＝，此时方程组的基础解系为 方程的通解为： （3）有唯一解的充要条件是的秩＝。由克莱姆（Cramer）法则，其解为 （4）的秩=的秩＝时，有无穷多组解，如果为其一个特解，则的通解为 。 例3.1 求解线性方程组 解 方程的矩阵形式： Mathematica程序： Det[A]＝0，A的秩 A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; MatrixForm[%] Det[A] 0 行列式＝0, 有非零解 r=Sum[RowReduce[A][[i,i]],{i,1,4}] 3 系数矩阵的秩＝3 NullSpace[A] {{-2, 1, -2, 3}} 基础解系 方程的通解为 例3.2 求解线性方程组 解 Mathematica程序： A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-3,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; MatrixForm[%] Det[A] 40 行列式, 只有零解 NullSpace[A] ｛｝ 基础解系为空 例3.3 求解线性方程组 解 Mathematica程序： Clear[A,b] A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; MatrixForm[%]; b={4,2,-2,4}; Det[A] 0 行列式＝0, 有无穷多组解。 r=Sum[RowReduce[A][[i,i]],{i,1,4}] 3 系数矩阵的秩＝3 NullSpace[A] {{-2, 1, -2, 3}} 基础解系 LinearSolve[A,b] {1, 1, -1, 0} 一个特解 于是方程组的通解为 例3.4 求解线性方程组 解 Mathematica程序： Clear[A] A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-3,2}, {0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; MatrixForm[%]; Det[A] 40 行列式, 有唯一解 b={4,2,-2,4}; LinearSolve[A,b] ｛2，0.5，0，-1.5｝ 唯一解 二、矩阵特征值和谱半径 （一）特征值和特征向量 设是一个阶实矩阵，若对于数，存在非零向量，使得 成立。则称是的特征值(Characteristic Value)，为的对应于的特征向量(Characteristic Vector)。 特征值和特征向量的性质：（I）对应于同一特征值的特征向量的线性组合仍是对应于该特征值的特征向量（只要这个线性组合不为零向量）；（II）对应于不同特征值的特征向量线性无关；（III）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。 当矩阵阶数较低时，可