线性空间(解答题)(题).docVIP

1．什么是线性空间? 答:设V是一个非空集合,P是一个数域,在V中定义了一个加法运算,在P和V的元素之间定义了一个数量乘法运算.如果上述两种运算满足以下规则,那么就称V为P上的一个线性空间(或称向量空间).1).；2).；3).V中有一个元素0，都有，0称为V的零元素；4).，存在，使得，称为的负元素；5).；6).；7).；8).； 其中，，表示V中的任意元素；，表示P中的任意数． 2．非空集合Ｖ在定义了加法和数乘运算之后成为P上的一个线性空间，V能否再定义另外的加法和数乘运算成为P上的另一个线性空间？ 答：有可能．例如，全体二元实数列构成的集合． 1).定义，则V成为R上的一个线性空间 2).定义，则V成为R 上的另一个线性空间. 3．线性空间V有哪些简单性质与结论？ 答：1）零元素是唯一的； 2）的负元素是唯一的； 3）； 4）； 5）； 6）； 7），存在唯一的，使得. 证明：容易验证1）—3）， 4）因为，所以为（）的负元，即. 5）.另一式子可类似证明. 6）. 7）又若也是的解， 则.两边左加，有.所以方程在V中有唯一解. 4．判断一个非空集合M不是线性空间有哪些基本方法？ 答：1）M是至少含两个元的有限集； 2）M关于定义的某一运算不封闭； 3）M不满足8条规则中的任一条. 5．线性空间的例子. 答：1）数域P按照数的加法和乘法构成自身上的一个线性空间.特别的，实数域R和复数域 C按照数的加法和乘法都是自身上的线性空间. 2）已知数域数域，按照数的加法和乘法，P构成P上的线性空间. 3）三维空间中与已知向量的全体再添加零向量，对于向量的加法与数乘运算构成一个 实线性空间. 4）分量属于数域P的全体n元数组，对于n元数组的加法与数乘构成P上的一个线性 空间，记作. 5）无穷实数列的全体： ，对于 构成一个实线性空间. 6）n元齐次线性方程组的解向量的全体，对于n维向量的加法和数乘构成P上的线性空间（为的子空间）. 7）元素属于数域P的矩阵的全体，对于矩阵的加法与数乘构成P上的线性空间. 8）数域P上全体n阶对称（反对称，上三角）矩阵对于矩阵的加法与数乘构成P上的线性空间. 9）设，则全体与A可交换的矩阵的集合，对于矩阵的加法与数乘构成的一个线性空间. 10）数域P上全体满足条件（表示A的迹，即A的主对角线元素之和）的n阶矩阵的集合，对于矩阵的加法和数乘构成P上的一个线性空间. 11）数域P上全体一元多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间，记作. 12）次数小于n的一元多项式及零多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间，记作. 13）集合对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R上的线性空间. 14）数域P上形如的多项式的全体，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间. 15）数域P上多项式的倍式的全体：，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间. 16）由0及数域P上的m元n次多项式 的全体，对于多项式的加法及数与多项式的乘法构成P上的线性空间，其中. 17）对于在区间上的实函数的全体，对于函数的和及数与函数的积，构成R上的线性空间.上的连续实函数全体为其子空间，记作. 18）全体形如的实函数，对于函数的和及数与函数的积，构成R上的线性空间. 6．下列集合关于指定运算均不构成线性空间： 1）起点在原点，终点在不经过原点的直线上的空间向量的全体，按向量的加法与数乘运算； 2）非齐次线性方程组AX=b(b0)的解向量的全体，按向量的加法与数乘运算； 3）数域P上次数不低于定数n的多项式的全体并添上零多项式，按多项式的加法与数乘运算； 4）有理数域定义运算： 5）设P为有理数域，对整数集定义运算： . 证：1）集合不含零向量，所以不是线性空间. 2）如果集合是空集，则不是线性空间. 如果集合非空，则由于不含零向量，所以也 不是线性空间. 3）因两个次数不低于n的多项式之和的次数可能低于n，即关于多项式的加法不封闭，所以不是线性空间. 4）因不满足线性空间定义中的规则5），所以不是自身上的线性空间. 5）取则而.故（），不满足线性空间定义中的规则7），所以集合不是线性空间. 7.什么叫做向量的线性相关和线性无关？ 答:设V是数域P上的线性空间,且，如果存在一组不全为零的数，使得， （1） 那么称向量组是线性相关的，否则，称它们是线性无关的. 注 一个向量不是线性相关,就一定是线性无关,两者必居其一且仅居其一. 线性无关 （1）式仅当成立. 8.设线性相关,是否对任意一组不全为零的都有？ 答:不一定，比如是线性相关的，它对一切非零数都有.而就不可能对一