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线性空间(解答题)(题)
1.什么是线性空间?
答:设V是一个非空集合,P是一个数域,在V中定义了一个加法运算,在P和V的元素之间定义了一个数量乘法运算.如果上述两种运算满足以下规则,那么就称V为P上的一个线性空间(或称向量空间).1).;2).;3).V中有一个元素0,都有,0称为V的零元素;4).,存在,使得,称为的负元素;5).;6).;7).;8).;
其中,,表示V中的任意元素;,表示P中的任意数.
2.非空集合V在定义了加法和数乘运算之后成为P上的一个线性空间,V能否再定义另外的加法和数乘运算成为P上的另一个线性空间?
答:有可能.例如,全体二元实数列构成的集合.
1).定义,则V成为R上的一个线性空间
2).定义,则V成为R
上的另一个线性空间.
3.线性空间V有哪些简单性质与结论?
答:1)零元素是唯一的;
2)的负元素是唯一的;
3);
4);
5);
6);
7),存在唯一的,使得.
证明:容易验证1)—3),
4)因为,所以为()的负元,即.
5).另一式子可类似证明.
6).
7)又若也是的解,
则.两边左加,有.所以方程在V中有唯一解.
4.判断一个非空集合M不是线性空间有哪些基本方法?
答:1)M是至少含两个元的有限集;
2)M关于定义的某一运算不封闭;
3)M不满足8条规则中的任一条.
5.线性空间的例子.
答:1)数域P按照数的加法和乘法构成自身上的一个线性空间.特别的,实数域R和复数域
C按照数的加法和乘法都是自身上的线性空间.
2)已知数域数域,按照数的加法和乘法,P构成P上的线性空间.
3)三维空间中与已知向量的全体再添加零向量,对于向量的加法与数乘运算构成一个
实线性空间.
4)分量属于数域P的全体n元数组,对于n元数组的加法与数乘构成P上的一个线性
空间,记作.
5)无穷实数列的全体:
,对于
构成一个实线性空间.
6)n元齐次线性方程组的解向量的全体,对于n维向量的加法和数乘构成P上的线性空间(为的子空间).
7)元素属于数域P的矩阵的全体,对于矩阵的加法与数乘构成P上的线性空间.
8)数域P上全体n阶对称(反对称,上三角)矩阵对于矩阵的加法与数乘构成P上的线性空间.
9)设,则全体与A可交换的矩阵的集合,对于矩阵的加法与数乘构成的一个线性空间.
10)数域P上全体满足条件(表示A的迹,即A的主对角线元素之和)的n阶矩阵的集合,对于矩阵的加法和数乘构成P上的一个线性空间.
11)数域P上全体一元多项式的集合,对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间,记作.
12)次数小于n的一元多项式及零多项式的集合,对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间,记作.
13)集合对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R上的线性空间.
14)数域P上形如的多项式的全体,对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间.
15)数域P上多项式的倍式的全体:,对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间.
16)由0及数域P上的m元n次多项式
的全体,对于多项式的加法及数与多项式的乘法构成P上的线性空间,其中.
17)对于在区间上的实函数的全体,对于函数的和及数与函数的积,构成R上的线性空间.上的连续实函数全体为其子空间,记作.
18)全体形如的实函数,对于函数的和及数与函数的积,构成R上的线性空间.
6.下列集合关于指定运算均不构成线性空间:
1)起点在原点,终点在不经过原点的直线上的空间向量的全体,按向量的加法与数乘运算;
2)非齐次线性方程组AX=b(b0)的解向量的全体,按向量的加法与数乘运算;
3)数域P上次数不低于定数n的多项式的全体并添上零多项式,按多项式的加法与数乘运算;
4)有理数域定义运算:
5)设P为有理数域,对整数集定义运算:
.
证:1)集合不含零向量,所以不是线性空间.
2)如果集合是空集,则不是线性空间. 如果集合非空,则由于不含零向量,所以也
不是线性空间.
3)因两个次数不低于n的多项式之和的次数可能低于n,即关于多项式的加法不封闭,所以不是线性空间.
4)因不满足线性空间定义中的规则5),所以不是自身上的线性空间.
5)取则而.故(),不满足线性空间定义中的规则7),所以集合不是线性空间.
7.什么叫做向量的线性相关和线性无关?
答:设V是数域P上的线性空间,且,如果存在一组不全为零的数,使得, (1)
那么称向量组是线性相关的,否则,称它们是线性无关的.
注 一个向量不是线性相关,就一定是线性无关,两者必居其一且仅居其一.
线性无关 (1)式仅当成立.
8.设线性相关,是否对任意一组不全为零的都有?
答:不一定,比如是线性相关的,它对一切非零数都有.而就不可能对一
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