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考研真题分析（线、面积分） 1、(1989)设平面曲线为下半圆周，则曲线积分 。 解　的参数方程为， 故， 因此。 注　本题若注意到在上变化时满足，则立即可得结果： 。 2、(1993)设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，则等于 。 A、 B、 C、 D、 解　本题的关键在于由条件“曲线积分与路径无关”导出所满足的微分方程, 由此求出求的表达式。 设，。由于，在全平面上具有连续的偏导数，曲线积分与路径无关，因此 即满足方程 由初始条件，得上面方程的特解为。 3、(1996)计算曲面积分，其中是有向曲面 ，其法向量与轴正向的夹角为锐角。 解法1　由于被积函数在空间任意光滑封闭曲面所围区域上满足高斯公式条件，故采用添加有向曲面，利用高斯公式计算。这里应注意在高斯公式中，曲面积分是沿着封闭曲面外侧进行的，因此本题沿着封闭曲面内侧的积分应加负号。 记为法向量指向轴的负向的有向平面，为在平面上的投影区域，则 设为所围成的空间区域，则由高斯公式知 因此原式 解法2　对此第二类曲面积分，可用“一投、二代、三投影”步骤求解。应注意按照投影法确定符号。 设为在平面上的投影区域，则 其中 令，则上式 又 所以。 4、(1999)设为椭球面的上半部分，点，为在点处的切平面，为点到平面的距离，求。 解　本题为综合题。应首先求出切平面方程再求相应的第一类曲面积分，这一点由题意不难看出。选择简便的方法求出切平面方程和曲面积分是应引起充分注意的。以下采用公式法，直接求出切平面方程，根据积分区域和被积函数的特性，利用极坐标教简捷地求得了结果。 先写出切平面方程，设为上任意一点，则平面的方程为 再由点到平面的距离公式，得 由 有 ， 于是 积分区域是在平面的投影 用极坐标得 5、(2000)设，为在第一卦限中的部分，则有 。 A、 B、 C、 D、 解　本题可通过计算进行选择，但这样比较烦琐。也可采用排除法判别。由于(A), (B)两个式子在形式上只是将换成了，由和的表达式知，的地位完全相当，因此(A), (B)两式或全对或全错，由于这里只有一个对的答案，故(A), (B) 全错。又(D)式左端的被积函数在区域上的符号不同，因此积分值应有所抵消，而右端的被积函数在上非负，故(D)式左端的值不可能是在第一象限上积分的四倍，即(D)不可能成立。由此只能选择(C)。 6、(2003)已知平面区域，为的正向边界，试证 （1）.（2） 证法1　等式的两边均为第二类曲线积分，可分别对两边直接积分，比较积分值，得结果。本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果。左边 右边 于是 证法2　对于第二类曲线积分，常考虑用格林公式转化为二重积分求解，由于被积函数在全平面上都有连续的偏导数，故可利用格林公式进行求证。 由格林公式，有 由于关于对称，故 于是 . (2) 由于，故由（1）得 == （利用轮换对称性） = 7、(2003)设函数在内具有一阶连续偏导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，起点为，终点为，记 （1）证明曲线积分与路径无关；（2）当时，求的值。 解　由题设，第一问可利用平面上曲线积分与路径无关的充要条件给予证明。在第一问的基础上，通过求原函数，并求原函数的改变量，求得的值。 （1）记，，则 ， ， 于是满足：在时，，且，所以曲线积分与路径无关。 （2）曲线积分与路径无关，故存在原函数使得，且： 由于连续，所以存在，使得，于是 所以原函数为 取，得。于是 注　在第一问的基础上，第二问的值，可通过如下取积分路径为折线路径，分段化为定积分求得。 由于曲线积分与路径无关，取为从到的折线段，于是 8、（2004）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 。 解　利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。 正向圆周在第一象限中的部分，可表示为 ， 于是 注　本题也可添加折线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上的积分容易计算：如图10－5所示： 而　； 故　。 9、(2004)计算曲面积分其中是曲面的上侧。 解　对于第二类曲面积分，利用构造封闭曲面，再应用高斯公式将原式转化为三重积分进行计算是常用的方法，但选择怎样的封闭曲面以及在怎样的坐标系下计算三重积分都是需要根据题意做选择的。本题利用添加平面上的一个圆形区域构造封闭曲面，并在柱面坐标系下，较简捷地得到了所求