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组合数学版卢开澄标准答案
习 题 四
4.1. 若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂,即a = xm,则称这个群为循环群。若群的元素交换律成立,即a , b (G满足
a(b = b(a
则称这个群为阿贝尔(Abel)群,试证明所有的循环群都是阿贝尔群。
[证].设循环群(G, ()的生成元是x0(G 。于是,对任何元素a , b (G,(m,n(N,使得a= x0m , b= x0n ,从而
a(b = x0m ( x0n
= x0m +n (指数律)
= x0n +m (数的加法交换律)
= x0n ( x0m (指数律)
= b(a
故 ( 运算满足交换律;即(G, ()是交换群。
4.2. 若x是群G的一个元素,存在一个最小的正整数m,使xm=e,则称m为x的阶,试证:
C={e,x,x2, (,xm-1}
是G的一个子群。
[证].(1)非空性C ((:因为(e(G;
(2)包含性C(G:因为x (G,根据群G的封闭性,可知x2, (,xm-1, (xm=)e(G,故C(G;
(3)封闭性(a , b (C( a ( b (C:( a , b (C,(k,l(N (0( km,0( lm),使a = xk , b = xl,从而
a ( b = xk ( xl = x(k+l) mod m(C (因为0 ( (k+l) mod m m) ;
(4)有逆元(a (C( a -1(C:( a (C,(k (N (0( km),使a = xk , 从而
a -1 = xm-k(C (因为0 ( m-k m) 。
综合(1) (2) (3) (4),可知(C, ()是(G, ()的一个子群。
4.3. 若G是阶为n的有限群,则G的所有元素的阶都不超过n。
[证].对任一元素x(G,设其阶为m,并令C={e,x,x2, (,xm-1},则由习题4.2.可知(C, ()是(G, ()的一个子群,故具有包含性C(G。因此有
m = |C| ( | G | = n
所以群G的所有元素的阶都不超过n。
4.4. 若G是阶为n的循环群,求群G的母元素的数目,即G的元素可以表示成a的幂:
a,a2, (,an
的元素a的数目。
[证].设(G, ()是循环群,a是其一个母元素(生成元),a的阶为n(也是G的阶),则
G ={a,a2, (,an(=e) }。
(1).我们来证:对任何自然数r (N (0 rn,(r,n) = 1),元素ar(G都是G的一个母元素(生成元)。
为此,只需证ar的阶为n即可。
首先,设ar的阶为k,因此有ar(k = (ar)k = e,由于a的阶为n,故根据引理*可得n | r(k 。已知0 rn,(r,n) = 1,因此只能有n | k,所以n ( k。
其次,
(ar)n = ar(n (指数律)
= an(r (数的加法交换律)
=(an)r (指数律)
= er
= e 。
因而,由k是元素ar的阶,具有最小性,所以k ( n。
综合这两方面,可得k = n。
(2).根据(1)的结论,可得,群G的母元素的数目为((n) (欧拉函数,小于n且与n互素的数的个数)。
注.引理*.设(G,()是群。(x(G,若x的阶为k,从而xk =e 。则 (m(N, xm=e ( k | m 。
[证].先证():
若xm=e,则必有k | m 。
否则k ? m ,于是,由带余除法,可设 m=kq+r (0( r( k),故可得 r=m-kq,从而
xr=xm-kq
=xm+(-kq)
=xm ( (xk)-q (指数律)
=e ( e-q (xm=e, xk =e)
=e ( e
=e
故与x的阶为k,具有最小性,矛盾。
次证():
若k | m,则m = kq。于是
xm = xkq
=(xk)q (指数律)
=eq (xk =e )
=e 。
4.5. 试证循环群G的子群仍是循环群。
[证].设(H, ()是循环群(G, ()=a的一个子群
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