组合数学版卢开澄标准答案.docVIP

习 题 四 4.1. 若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a = xm，则称这个群为循环群。若群的元素交换律成立，即a , b (G满足 a(b = b(a 则称这个群为阿贝尔(Abel)群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。 [证].设循环群(G, ()的生成元是x0(G 。于是，对任何元素a , b (G，(m，n(N，使得a= x0m , b= x0n ,从而 a(b = x0m ( x0n = x0m +n (指数律) = x0n +m (数的加法交换律) = x0n ( x0m 　　(指数律) = b(a 故 ( 运算满足交换律；即(G, ()是交换群。 4.2. 若x是群G的一个元素，存在一个最小的正整数m，使xm=e，则称m为x的阶，试证： C={e,x,x2, (,xm-1} 是G的一个子群。 [证].(1)非空性C ((：因为(e(G； (2)包含性C(G：因为x (G，根据群G的封闭性，可知x2, (,xm-1, (xm=)e(G，故C(G； (3)封闭性(a , b (C( a ( b (C：( a , b (C，(k，l(N (0( km，0( lm)，使a = xk , b = xl，从而 a ( b = xk ( xl = x(k+l) mod m(C (因为0 ( (k+l) mod m m) ； (4)有逆元(a (C( a -1(C：( a (C，(k (N (0( km)，使a = xk , 从而 a -1 = xm-k(C (因为0 ( m-k m) 。 综合(1) (2) (3) (4)，可知(C, ()是(G, ()的一个子群。 4.3. 若G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n。 [证].对任一元素x(G，设其阶为m，并令C={e,x,x2, (,xm-1}，则由习题4.2.可知(C, ()是(G, ()的一个子群，故具有包含性C(G。因此有 m = |C| ( | G | = n 所以群G的所有元素的阶都不超过n。 4.4. 若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目，即G的元素可以表示成a的幂： a,a2, (,an 的元素a的数目。 [证].设(G, ()是循环群，a是其一个母元素(生成元)，a的阶为n(也是G的阶)，则 G ={a,a2, (,an(=e) }。 (1).我们来证：对任何自然数r (N (0 rn，(r,n) = 1)，元素ar(G都是G的一个母元素(生成元)。 为此，只需证ar的阶为n即可。 首先，设ar的阶为k，因此有ar(k = (ar)k = e，由于a的阶为n，故根据引理*可得n | r(k 。已知0 rn，(r,n) = 1，因此只能有n | k，所以n ( k。 其次， (ar)n = ar(n (指数律) = an(r (数的加法交换律) =(an)r (指数律) = er = e 。 因而，由k是元素ar的阶，具有最小性，所以k ( n。 综合这两方面，可得k = n。 (2).根据(1)的结论，可得，群G的母元素的数目为((n) (欧拉函数，小于n且与n互素的数的个数)。 注.引理*.设(G,()是群。(x(G，若x的阶为k，从而xk =e 。则 (m(N, xm＝e ( k | m 。 [证].先证()： 　若xm＝e，则必有k | m 。 　否则k ? m ，于是，由带余除法，可设 m=kq+r (0( r( k)，故可得 r=m-kq，从而 　　　 xr＝xm-kq ＝xm+(-kq) ＝xm ( (xk)-q (指数律) ＝e ( e-q (xm＝e, xk =e) ＝e ( e ＝e　 故与x的阶为k，具有最小性，矛盾。 次证(): 若k | m，则m = kq。于是 xm ＝ xkq ＝(xk)q (指数律) ＝eq (xk =e ) =e 。 4.5. 试证循环群G的子群仍是循环群。 [证].设(H, ()是循环群(G, ()=a的一个子群