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维化学正十十面体与碳
高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学
第五节 正十二、二十面体与碳-60
在学习完正四面体、正方体、正八面体以后,我们再来学另两种正多面体——正十二面体与正二十面体,以及用它们完美组合而成的碳-60的空间模型。
【讨论】在平面上,我们用单位正方形,可紧密地铺满一个无限平面;用单位正六边形也是可以紧密地铺满一个平面的;那么单位正三角形可以吗?由于一个六边形可分割成六个完全相同的正三角形,显然,单位正三角形也是可以的;再来看正五边形,它的每个顶点是108°(不是360°的约数),如右图5-1所示,它在平面不可能铺满而不留任何空隙。在空间正多面体中,共一顶点的棱至少3条,共一顶点的夹角之和应小于360(如正方体270o,正八面体240o),因此正六边形不能在空间构成一个每个面是正六边形的正多面体,那么五边形是否可以构成正多面体呢?由于3×108o<360o,因此就存在可能性。如右图5-2所示,这就由正五边形构成的正多面体——正十二面体。请看例题1。
【例题1】如图5-2所示是十二面体烷的空间构型,写出它的化学式并计算它的一氯取代物和二氯取代物的数目。
【分析】在前几节,我们曾探讨了空间多面体中点、线、面的关系。在正十二面体中,每个面是正五边形,三条棱共一顶点,因此顶点数应为12×5/3=20,而棱数应为12×5/2=30。既然是空间正多面体,它的每个顶点必须是等价的,一氯取代物只可能是一种。我选定一个顶点,与它最近的顶点是3个(共棱),然后是6个,然后依次是6个,3个,1个,故二氯取代物有5种。
【解答】化学式C20H20,1种一氯取代物,5种二氯取代物。
【讨论】继续讨论上文的话题,当用正方形(90o)构成空间正多面体时,共顶点的也只可以是三条棱,故只有一种正多面体—正方体;当用正三角形(60o)构成空间正多面体时,共顶点的棱可以是三条、四条、五条,三条时是正四面体,四条时是正八面体,五条时就是最后一个正多面体——正十二面体。如图5-3所示,这就是由正三角形构成的空间正二十面体。请看例题2。
【例题2】晶体硼的基本结构单元是由硼原子组成的正二十面体(如图5-3所示),每个三角形均为正三角形,每个顶点为一硼原子。则每一个此基本单元由 个原子组成;该单元中有2个原子为10B(其余为11B),那么该结构单元有 种不同类型。
【分析】如同例题1,先根据20个正三角形计算顶点数为20×3÷5=12;当选定1个顶点后,与它最近的顶点数为5个,然后就是5个和1个,即二取代物有3种。
【解答】12个 3种
【讨论】我们看一下正十二面体与正二十面体的关系,它们都是30条棱;其中正十二面体是12个顶点;正十二面体是20个顶点,而正二十面体是20个面。我们连接正十二面体的12个面的面心构成的空间图形就是正二十面体,再连接正二十面体的20个面的面心构成的空间图形就是正十二面体。
【练习1】正十二面体与正二十面体是否都存在三次轴和五次轴(n次轴表示绕该轴旋转360o/n与图形完全重合)。
【讨论】我们连接正十二面体的两个相对面的面心,就是一条五次轴,而连接相对顶点就是一条三次轴;那么正二十面体是否也存在类似的呢?
【讨论】关于C60(如图5-4所示),大家已很熟悉,在这里我们只讨论它的空间结构。虽然C60不是一种空间正多面体,但它还是一种很完美的、对称性很强的空间多面体。C60中每个碳原子与3个碳原子相连,共12个五元环(正五边形)与20个六元环(正六边形)构成C60的封闭多面体骨架。这里的12与20是否与正十二面体和正二十面体中的12、20有关系呢?其实,我们将正二十面体截去 12个顶点剩下的多面体就是C60。那么怎么截呢?我们过二十面体的30条棱的三等分点去截12个顶点,由于1个顶点连出了5条棱,截面显然是个正五边形;原来的正三角形面在截取3个顶点后就变成正六边形了,原来的20个正三角形面就变成C60中的20个正六边形面了。
【例题3】1996年度诺贝尔化学奖授予三位大学教授,以表彰他们在1985年发现碳的球状结构。碳的球状结构,就是富勒烯家族的由若干个碳原子组成的笼状分子结构。这种笼状分子的典型代表是C60。C60是具有60个碳原子并组成1个酷似足球的笼状分子,如图5-4所示。
目前,化学家们已经找到十余种富勒烯家族的Cx,它们分子结构中都由正五边形和正六边形构成,C80是其中一种。列式计算C80中五边形和六边形的个数。①
【分析】我们设正五边形与正六边形数分别为a和b,利用点、线、面的空间关系可列式(5a+6b)/2=80×3/2=120 ①(120就是棱的数目),另外利用封闭多面体的不饱和度也可列式(a+b-1+40)×2=80×2+2 ②(40可认为是双键数)。由①②,我们可解得a=12;b=30。
在C80中,五边形数与在
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