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绵阳师范学院《近世代数》考试试卷 试卷编号：1 考试时间：120分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 总分 应得分 20 10 30 30 10 100 实得分 评卷人 一、填空题（每题2分，共20分） 1、集合的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件： 。 2、设～是集合的元间的一个等价关系，它决定的一个分类：是两个等价类。则 。 3、设是一个阶交换群，是的一个（）阶元，则商群的阶等于 。 4、设=是12阶循环群，则的生成元是 。 5的子群的一切右陪集 。 6、设是群的子群，，则 。 7、设是一个阶群，其中是一个素数，是一个正整数，则的真子群的一切可能的阶数是 。 8、一个无零因子环的特征指的是 。 9、含（为素数）个元的域的特征是 。 10、设=是循环群，则与模的剩余类加群同构的充要条件是 。 二、单项选择题（每题2分，共10分） 1、设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么（ ） ①中两两都不相同；②的次序不能调换； ③中不同的元对应的象必不相同；④元的象可以不唯一。 2、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。 3、设和都是群中的元素且，那么（ ） ①； ②； ③； ④。 4、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ） ①的同态核是的不变子群; ②的不变子群的象是的不变子群。 ③的子群的象是的子群；④的不变子群的逆象是的不变子群； 5、下列正确的命题是（ ） ①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。 三、判断说明题（每小题6分，共30分。下列题正确错误均需说明，正确的，予以证明；错误的，给出反例。判断2分，说明4分，判断错误，全题无分。） 1、若群的每一个元都适合方程，是不是交换群？ 2、群的所有子群的交集是不是的子群？ 3、设是的不变子群，，是否一定存在使？ 4、整数环与偶数环是否同态？ 5、设是一个有单位元的环，μ是的一个理想且1μ，由此能否判定μ=？ 四、证明题（每小题10分，共30分） 1、｛所有实数，（是有理数）｝。证明，对于普通加法和乘法来说是一个域。 2、设群与群同态，是的一个不变子群，是的逆象，证明。 3、是由所有复数（）所作成的环，证明是一个域。 五、计算题（10分） 假定是模8的剩余类环，在里计算并求出它们的次数，其中。 第2 页，共 4 页 第 1 页，共 4 页 姓名： 学号： 考试班级： 年 月 日 考 试 用 第 4 页，共 4 页 第3页，共 4 页 第6页，共 6 页 第5页，共 6 页 第8页，共 页 第7页，共 页 第10页，共 第9页，共 页