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　　　　　　 本科毕业论文 题 目: 幂级数的典型应用 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 罗云云 学 号： 091901301030 指导教师： 管 毅 教师职称： 讲 师 填写日期：2013年 5月 2日摘要 幂级数是一类形式简单的函数项级数,应用非常广泛.在一些运算中，很难用初等数学的方法进行计算.这时,可以借助幂级数的性质、展开式等把复杂的问题简单化.本文通过归纳的方法,从幂级数的定义出发,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式,总结了幂级数的四点应用:第一,在近似计算中的应用;第二,在不等式证明中的应用;第三,在微分方程中的应用;第四,在行列式计算中的应用. 关键词:幂级数;微分方程;不等式 Abstract Power Series is a kind of series of functions with a simple format; its application is very broad. In some operations, it is difficult to use the method of elementary mathematics to calculate. At this time, some complex problems can be simplified by using the quality and expansion of power series. Based on the inductive methods, starting from the definition of power series, and then give the convergence domain of the power series, important theorem and power series expansion to summarize the four applications of the power series: first, in the application of approximate calculation; Second, in the application of inequality proof; Third, in the application of differential equations; Last, in the application of the determinant calculation. Keywords: Power series; Differential equations; Inequality 目 录 摘 要 I Abstract II 第一章 前言 1 第二章 幂级数的基本知识 2 第一节 定义 2 第二节 和函数 2 第三节 幂级数收敛域 4 第四节 函数的幂级数展开 5 一、函数的泰勒展开式 5 二、常见函数的麦克劳林展开式 6 第三章 幂级数的应用 7 第一节 在近似计算中的应用 7 第二节 在不等式证明中的应用 7 第三节 在微分方程中的应用 9 第四节 在行列式计算中的应用 11 致谢 14 参考文献 15 第一章 前言 级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验的推动下逐步形成和发展起来的.中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年就创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积.这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题.印度的马德哈瓦在14世纪就提出了函数展开成无穷级数的概念,他首先提出了幂级数的概念,并对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究.同时,他开始探究无穷级数的敛散性方法.到了19世纪，高斯、欧拉、柯西分别得出了各种判别级数敛散性的方法,使得级数理论全面发展起来.中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对初等函数的幂级数展开进行了深入的研究.而今,级数的理论已经发展得相当丰富和完整,级数既可以用来表示函数、研究函数的性质,也可以作为进行数值计算的一种工具.它在自然科学、工程技术等方面都有广泛的作