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群的元素的阶与群的构造
群的元素的阶与群的构造
数06.1 陈琥 何军 杜斌 张良林
0608410120 0608410118 0608410128 0608410142
摘 要:群是《近世代数》的一个重要概念,从不同角度出发,群可以分为有限群和无限群两大类,又可以分为交换群和非交换群两大类。在学习群的过程中我们还学习了群的阶以及群的元素的阶,而元素的阶又是群的一个重要概念。元素的阶和群的有内在联系;所以本文利用元素的阶研究某些群的构造。
关键字:群 元素的阶 群的阶 群的构造
中图分类号:0152
一:元素的阶
定义1.1 设a是群G的元素,若存在使的最小正整数m,则称a的阶为m(此时称a有限阶元素),而对任意的正整数n,都有,则称元素a的阶是
结论1.1 (1)群的元素a的阶为有限
存在,使
a为有限集合
存在正整数n,使
(2)群的元素a的阶为无限
对任意,均有
a为无限集合
对任意正整数n,均有
(3)①群的元素的阶为1
②群的元素的阶为2且
③群的元素的阶2
定义1.2 若群G中有有限个元素,则称G是有限群,而群G中所含元素的个数叫群G的阶;若群G中有无限个元素,则称G是无限阶群。
结论1.2 (1)若a是群G的无限阶元素,则,
(2)若a是群G的m阶元素,则
(3)任意群G的单位元e的阶都是1
定理1.1 (1)设G是一个群,元素a的阶为n,即,对任意的正整数m,若,则由可推出。
(2)设G是一个群,元素a的阶为n,即,对任意的正整数m,若,则。
证明(2):因为元素a的阶为n,则,由整数的带余除法存在整
数q和r,使,其中。
若,则
这与a的阶是n矛盾,则即于是。
证毕!
结论1.3 若a是无限阶元素,则对于任意的非零整数i,也是无限阶元素。
定理1.2 若群G中元素a的阶为m,则的阶是。
证明:首先,记,则有且
则由,有
即
其次,设,则由定理1.1(2),从而,但是,故,因此,的阶是,即
设群中元素a的阶是m,b的阶是n,则当ab=ba且(m,n)=1时,ab的阶是mn。
证明:设ab的阶为k,由于
则
又因为
所以,由于则,同理,再有由由于,有,于是
结论得证
定理1.4 设G是一个群,,则a与a的逆元有相同的阶。
证明:设 而则
所以,
所以即
结论得证
定理1.5 设G 是一个群, a ∈ G , a 的阶是n , r 是任意一个整数, ( n , r) = d ,则的阶是
证明:设 的阶是k,则而
由,
再由,因此,而
故,于是所以
即的阶是
定理1.6 设G和是两个群,φ是G到的同态影射,若a ∈ G 且a 的阶是m ,φ( a) 的阶是n ,则n | m。
证明: 设的单位元是,
因为φ是G到的同态影射,所以φ( e) = 。
因为a 的阶是m ,φ( a) 的阶是n ,
故有 , = ,则= = =
所以n | m.
二、元素乘积的阶
定义2.1 设群中元素a的阶是m,b的阶是n,则ab的阶叫做元素乘积的阶。
值得注意的是,当元素a与b不满足ab=ba时,其乘积的阶会出现各种各样的情况,将无法根据a,b的阶来做出判断。即元素可不可换。这里我们讨论元素可换的情况。
结论2.1 若是群G的可换子集,元素的阶为,,则乘积的阶是的约数。
证明:记,则
从而,于是
因此的阶是的S约数。证毕。
结论2.2 若群G的元素a的阶有限,元素b的阶无限,ab=ba,则ab是无限阶元素
证明:设ab的阶有限,记为n,由条件a的阶有限,记为m
从而,
而b的阶是无限的,引出矛盾。
因此ab是无限阶元素。
定理2.1 若群G的元素a的阶是s,b的阶是t,ab=ba,则
元素ab的阶是[s,t]的约数
群G中存在阶是[s,t]的元素。
证明:(2)设有标准分解式
则记r=[s,t]有
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