群的元素的阶与群的构造.docVIP

群的元素的阶与群的构造 数06.1 陈琥 何军 杜斌 张良林 0608410120 0608410118 0608410128 0608410142 摘 要：群是《近世代数》的一个重要概念，从不同角度出发，群可以分为有限群和无限群两大类，又可以分为交换群和非交换群两大类。在学习群的过程中我们还学习了群的阶以及群的元素的阶，而元素的阶又是群的一个重要概念。元素的阶和群的有内在联系；所以本文利用元素的阶研究某些群的构造。 关键字：群 元素的阶 群的阶 群的构造 中图分类号：0152 一：元素的阶 定义1.1 设a是群G的元素，若存在使的最小正整数m，则称a的阶为m（此时称a有限阶元素），而对任意的正整数n，都有，则称元素a的阶是 结论1.1 （1）群的元素a的阶为有限 存在，使 a为有限集合 存在正整数n，使 （2）群的元素a的阶为无限 对任意，均有 a为无限集合 对任意正整数n，均有 （3）①群的元素的阶为1 ②群的元素的阶为2且 ③群的元素的阶2 定义1.2 若群G中有有限个元素，则称G是有限群，而群G中所含元素的个数叫群G的阶；若群G中有无限个元素，则称G是无限阶群。 结论1.2 （1）若a是群G的无限阶元素，则， （2）若a是群G的m阶元素，则 （3）任意群G的单位元e的阶都是1 定理1.1 （1）设G是一个群，元素a的阶为n，即，对任意的正整数m，若，则由可推出。 （2）设G是一个群，元素a的阶为n，即，对任意的正整数m，若，则。 证明（2）：因为元素a的阶为n，则，由整数的带余除法存在整 数q和r，使，其中。 若，则 这与a的阶是n矛盾，则即于是。 证毕！ 结论1.3 若a是无限阶元素，则对于任意的非零整数i，也是无限阶元素。 定理1.2 若群G中元素a的阶为m，则的阶是。 证明：首先，记，则有且 则由，有 即 其次，设，则由定理1.1（2），从而，但是，故，因此，的阶是，即 设群中元素a的阶是m，b的阶是n，则当ab=ba且(m,n)=1时，ab的阶是mn。 证明：设ab的阶为k，由于 则 又因为 所以，由于则，同理，再有由由于，有，于是 结论得证 定理1.4 设G是一个群，，则a与a的逆元有相同的阶。 证明：设 而则 所以， 所以即 结论得证 定理1.5 设G 是一个群, a ∈ G , a 的阶是n , r 是任意一个整数, ( n , r) = d ,则的阶是 证明：设 的阶是k,则而 由， 再由，因此，而 故，于是所以 即的阶是 定理1.6 设G和是两个群,φ是G到的同态影射，若a ∈ G 且a 的阶是m ,φ( a) 的阶是n ,则n | m。 证明： 设的单位元是， 因为φ是G到的同态影射,所以φ( e) = 。 因为a 的阶是m ,φ( a) 的阶是n , 故有 , = ,则= = = 所以n | m. 二、元素乘积的阶 定义2.1 设群中元素a的阶是m，b的阶是n，则ab的阶叫做元素乘积的阶。 值得注意的是，当元素a与b不满足ab=ba时，其乘积的阶会出现各种各样的情况，将无法根据a,b的阶来做出判断。即元素可不可换。这里我们讨论元素可换的情况。 结论2.1 若是群G的可换子集，元素的阶为，，则乘积的阶是的约数。 证明：记，则 从而，于是 因此的阶是的S约数。证毕。 结论2.2 若群G的元素a的阶有限，元素b的阶无限，ab=ba,则ab是无限阶元素 证明：设ab的阶有限，记为n，由条件a的阶有限，记为m 从而， 而b的阶是无限的，引出矛盾。 因此ab是无限阶元素。 定理2.1 若群G的元素a的阶是s，b的阶是t，ab=ba，则 元素ab的阶是[s,t]的约数 群G中存在阶是[s,t]的元素。 证明：（2）设有标准分解式 则记r=[s,t]有