群论复习题.docVIP

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群论复习题

第二章群论复习题 一、填空题 1、集合的元间的关系~叫做等价关系,如果~适合下列三个条件: 。 2、设~是集合的元间的一个等价关系,它决定的一个分类:是两个等价类。则 。 3、设是一个阶交换群,是的一个()阶元,则商群的阶等于 。 4、设=是12阶循环群,则的生成元是 。 5、的子群的一切右陪集 。 6、设是群的子群,,则 。 7、设=是循环群,则与模的剩余类加群同构的充要条件是 。 8、设=是10阶循环群,则的子群的个数为_________. 9、在5次对称群中, 10、设=是15阶循环群,则的子群的个数为_________. 11、整数加群是一个循环群,它有且仅有两个生成元是______和_____. 二、判断题 1、( )若都是群的子群,则也是的子群。 2、( )交换群的子群是循环群。 3、( )循环群的同态象是循环群。 4、( )一个阶是11的群只有两个子群。 5、( )有单位元且满足消去律的有限半群是群。 6、( )交换群的子群是不变子群。 7、( )全体整数的集合对于普通减法构成一个群 8、( )群的指数是2的子群一定是不变子群。 三、计算题 1:将置换写成不相交循环置换的乘积,并求的阶; 2:求三次对称群的所有子群。 3:计算置换的奇偶性。 4、求解模20剩余类的所有子群。 四、证明题 1:令是实数对的集合,在上定义, 证明是群 2:设,证明关于变换的乘法构成群。 3:令是任意集合,是一个群,是到群的所有映射构成的集合。对任意两个映射,定义乘积是这样的映射:,证明:是群。 4:对任意是群的自同构当且仅当是交换群。 5、设且,,记分别表示的最大公因子与最小公倍数,则 (1) (2) 中存在阶的元 (3)中存在阶的元 6、设,证明:与,与含有相同的阶。 7、令是实数对的集合带有乘法的群,证明:是的正规子群且,其中是非零实数乘法群。

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