群论复习题.docVIP

第二章群论复习题 一、填空题 1、集合的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件： 。 2、设～是集合的元间的一个等价关系，它决定的一个分类：是两个等价类。则 。 3、设是一个阶交换群，是的一个（）阶元，则商群的阶等于 。 4、设=是12阶循环群，则的生成元是 。 5、的子群的一切右陪集 。 6、设是群的子群，，则 。 7、设=是循环群，则与模的剩余类加群同构的充要条件是 。 8、设=是10阶循环群，则的子群的个数为_________. 9、在5次对称群中， 10、设=是15阶循环群，则的子群的个数为_________. 11、整数加群是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____. 二、判断题 1、（ ）若都是群的子群，则也是的子群。 2、（ ）交换群的子群是循环群。 3、（ ）循环群的同态象是循环群。 4、（ ）一个阶是11的群只有两个子群。 5、（ ）有单位元且满足消去律的有限半群是群。 6、（ ）交换群的子群是不变子群。 7、（ ）全体整数的集合对于普通减法构成一个群 8、（ ）群的指数是2的子群一定是不变子群。 三、计算题 1：将置换写成不相交循环置换的乘积，并求的阶； 2：求三次对称群的所有子群。 3：计算置换的奇偶性。 4、求解模20剩余类的所有子群。 四、证明题 1：令是实数对的集合，在上定义， 证明是群 2：设，证明关于变换的乘法构成群。 3：令是任意集合，是一个群，是到群的所有映射构成的集合。对任意两个映射,定义乘积是这样的映射：,证明：是群。 4：对任意是群的自同构当且仅当是交换群。 5、设且,，记分别表示的最大公因子与最小公倍数，则 (1) (2) 中存在阶的元 (3)中存在阶的元 6、设，证明：与，与含有相同的阶。 7、令是实数对的集合带有乘法的群，证明：是的正规子群且，其中是非零实数乘法群。