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考研数学高数定积分
第五讲:定积分
定积分的概念:设上有界
任意分割:
作乘积:任取,作乘积
作和式:
取极限:
若不管如何分割,如何选取,当时,上述极限如果存在,则称在上是可积的,并称此极限值为上的定积分,记为
我们规定:
函数可积的条件:
充分条件:若满足下列条件之一,则上可积:
1、上连续;
2、只有有限个间断点的有界函数
3、单调函数
必要条件:若上可积,则在上一定有界。
定积分的几何意义:
设上可积
若,则
若,则
若有正有负,则
例:
1、用定义计算积分;
2、利用定积分表示下列和式的极限:
(1)
(2)
3、利用几何意义求积分
4、比较大小:
定积分的性质:
设在所讨论的区间上都是可积的,则有
性质1 (线性性)
推论:
性质2 (区间可加性)
性质3 (保号性)
若
性质4 (保不等式性)
若
性质5 (绝对可积性及绝对值不等式)
性质6 (估值不等式)
积分中值定理:
若? (x)在[a,b]上连续,则至少存在一点ξ∈[a,b],使
微积分基本定理:
变上限积分函数:
设? (x)在[a,b]上可积,则对于每一个[a,b], 定积分都有唯一确定的值与之对应,由此可以定义函数:
这是一个定义在[a,b]上的函数,称为积分变上限函数。
注:中x是积分上限变量,在[a,b]上变化;t是积分变量,在[a,x]上变化。
变上限积分函数求导定理:
若? (x)在[a,b]上连续,则F(x)在[a,b]上一定可导,且有
注 1. F(x)也一定连续.
2. F(x)是? (x)在上的一个原函数.
此定理也证明了连续的原函数一定存在.
例:求
牛顿-莱布尼兹公式:
若? (x)在[a,b]上连续,Ф(x)是? (x)的任意一个原函数,则有
说明: 等于? (x)的任一个原函数在[a,b]上的增量
例:
定积分的换元积分法与分部积分法
第一类换元积分法(凑微分法):
(不定积分)
(定积分)
例:
第二类还原积分:
(不定积分)
其中:具有连续的导数
(定积分)
其中:(1),,
(2)具有连续的导数,且
与不定积分类似,常用:
例:计算下列定积分:
换元积分法:
(不定积分)
(定积分)
条件:在[a,b]上具有连续导数
例:计算:
其他结论:
一、设在上可积,则有:
二、设是一个以T为周期的可积函数,则有
例:
函数在上有定义,且单调不增,证明:对于任何有
.
设函数在上连续可微,证明:
设在区间上连续且单增,求证:
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