而由于.docVIP

例8-11图8-38a所示结构，杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积均为A，梁BD为刚体，载荷F=50kN，许用拉应力[6t]=160MPa，许用压应力[6c]=120MPa，试确定各杆的横截面面积。 解：（1）问题分析：未知轴力与支反力戈薇两个，即未知力共四个，但是，由于有效平衡方程只有三个，故为一度静不定。 在载荷F的作用下，梁BD将绕B点沿顺时针方向做微小转动，杆1缩短，杆2伸长。与此相应，杆1受压，杆2受拉，梁BD的受力如图所示。 （2）建立平衡方程 由平衡方程 得： （3）建立补充方程 由变形图可以看出， 即变形协调方程为： 根据胡克定律： 将上述关系代入式（b），得补充方程为： （4）轴力计算与截面设计 联立求解平衡方程（2）与补方程(c), 得: 由此可得出杆1和杆2所需之截面积分别为： 但是，由于已选定，且上述轴力正是在此条件下所求得，因此，应取 否则，各杆的轴力及应力将随之改变。 例8-9 （a）图所示桁架，在节点A点处承受铅垂载荷F的作用，试求该节点的位移。已知：杆1用钢制成，弹性模量E1=200Gpa,横截面面积A1=100mm2,杆长l1=1m；杆2用硬铝制成，弹性模量E2=70Gpa,横截面面积A2=250mm2,杆长l2=707mm;载荷F=10KN. 解：计算杆件的轴向变形 首先，根据节点A的平衡条件，求得杆1与杆2的轴力分别为 Fn1=√2F= √2(10×103N)=1.414×104N(拉力) FN2=F=1.0×104N（压力） 设杆1的伸长为ΔL1，并用AA1表示，杆2的缩短为ΔL2，并用AA2表示，则由胡克定律可知： ΔL1=FN1L1／E1A1=(1.414×1O4N)(1.0m)／（200×109Pa）’即为节点A的新位置。 通常，杆的变形均很小，弧线A1A’与A2A’必很短，因而可近似地用其切线代替。于是，过A1与A2分别作BA1与CA2的垂线（图b），其交点A3亦可视为节点A的新位置。 （3）计算节点A的新位移 由图可知，节点A的水平与铅垂位移分别为 ΔAx=AA2=ΔL2=0.404mm ΔAy=AA4+A4A5=ΔL1／sin450+ΔL2／tan450=1.404mm （4）讨论 与结构原尺寸相比为很小的变形，称为小变形。在小变形的条件下，通常即可按结构原有几何形状与尺寸计算约束反力与内力，并可采用上述以切线代替圆弧的方法确定位移。因此，小变形为一重要概念，利用此概念，可使许多问题的分析计算大为简化。 例8—10 图（a） 解：（1）静力学方面 在载荷F作用下，AC段伸长，CB段缩短，杆端支反力FAX与FBX的方向将如图(b)所示，并与载荷F组成一共线力系，其平衡方程为 ∑Fx=0，F-Fax-FBx=0 两个未知力，一个平衡方程，故为一度静不定。 （2）几何方面 根据杆端的约束条件可知，受力后各杆段虽然变形，但杆的总长不变，所以，如果将AC与CB段的轴向变形分别用ΔLAC于ΔLCB表示，则变形协调方程为 ΔLAC+ΔLCB=0 (3)物理方面 由图（b）ax (a) FN2=-FBx (b) 故由胡克定律可知，上述二杆段的轴向变形分别为 ΔLAC=FΔAxL1／EA (c) ΔLCB=(-FBx)L2 ／EA (d）））axL1-FBxL2=0 (e) 最后，联立求解平衡方程(a)与补充方程（e）ax=FL2／(L1+L2) FBx=FL1／(L1+L2) 图示结构，梁BD为刚体，杆1与杆2用同一种材料制成，横截面面积均为A=300mm2，许用应力[σ]=160MPa,载荷F=50kN，试校核杆的强度。 解：(1)以BC为研究对象，受力 如图8-27(1) 列平衡方程 ?MB = 0 N1 ? a + N2 ? 2a – F ? 2a = 0 (a) (2)变形图如图8-27(2)，则 2Δ?1 = Δ?2 (b) 列补充方程 Δ?1 = N1?1 ? (EA) (c) Δ?2 = N2?2 ? (EA) (d) 由(a)、(b)、(c)和(d)式解得 N1 = 20 kN N2 = 40 kN