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例8-11图8-38a所示结构,杆1与杆2的弹性模量均为E,横截面面积均为A,梁BD为刚体,载荷F=50kN,许用拉应力[6t]=160MPa,许用压应力[6c]=120MPa,试确定各杆的横截面面积。 解:(1)问题分析:未知轴力与支反力戈薇两个,即未知力共四个,但是,由于有效平衡方程只有三个,故为一度静不定。 在载荷F的作用下,梁BD将绕B点沿顺时针方向做微小转动,杆1缩短,杆2伸长。与此相应,杆1受压,杆2受拉,梁BD的受力如图所示。 (2)建立平衡方程 由平衡方程 得: (3)建立补充方程 由变形图可以看出, 即变形协调方程为: 根据胡克定律: 将上述关系代入式(b),得补充方程为: (4)轴力计算与截面设计 联立求解平衡方程(2)与补方程(c), 得: 由此可得出杆1和杆2所需之截面积分别为: 但是,由于已选定,且上述轴力正是在此条件下所求得,因此,应取 否则,各杆的轴力及应力将随之改变。 例8-9 (a)图所示桁架,在节点A点处承受铅垂载荷F的作用,试求该节点的位移。已知:杆1用钢制成,弹性模量E1=200Gpa,横截面面积A1=100mm2,杆长l1=1m;杆2用硬铝制成,弹性模量E2=70Gpa,横截面面积A2=250mm2,杆长l2=707mm;载荷F=10KN. 解:计算杆件的轴向变形 首先,根据节点A的平衡条件,求得杆1与杆2的轴力分别为 Fn1=√2F= √2(10×103N)=1.414×104N(拉力) FN2=F=1.0×104N(压力) 设杆1的伸长为ΔL1,并用AA1表示,杆2的缩短为ΔL2,并用AA2表示,则由胡克定律可知: ΔL1=FN1L1/E1A1=(1.414×1O4N)(1.0m)/(200×109Pa)’即为节点A的新位置。 通常,杆的变形均很小,弧线A1A’与A2A’必很短,因而可近似地用其切线代替。于是,过A1与A2分别作BA1与CA2的垂线(图b),其交点A3亦可视为节点A的新位置。 (3)计算节点A的新位移 由图可知,节点A的水平与铅垂位移分别为 ΔAx=AA2=ΔL2=0.404mm ΔAy=AA4+A4A5=ΔL1/sin450+ΔL2/tan450=1.404mm (4)讨论 与结构原尺寸相比为很小的变形,称为小变形。在小变形的条件下,通常即可按结构原有几何形状与尺寸计算约束反力与内力,并可采用上述以切线代替圆弧的方法确定位移。因此,小变形为一重要概念,利用此概念,可使许多问题的分析计算大为简化。 例8—10 图(a) 解:(1)静力学方面 在载荷F作用下,AC段伸长,CB段缩短,杆端支反力FAX与FBX的方向将如图(b)所示,并与载荷F组成一共线力系,其平衡方程为 ∑Fx=0,F-Fax-FBx=0 两个未知力,一个平衡方程,故为一度静不定。 (2)几何方面 根据杆端的约束条件可知,受力后各杆段虽然变形,但杆的总长不变,所以,如果将AC与CB段的轴向变形分别用ΔLAC于ΔLCB表示,则变形协调方程为 ΔLAC+ΔLCB=0 (3)物理方面 由图(b)ax (a) FN2=-FBx (b) 故由胡克定律可知,上述二杆段的轴向变形分别为 ΔLAC=FΔAxL1/EA (c) ΔLCB=(-FBx)L2 /EA (d)))axL1-FBxL2=0 (e) 最后,联立求解平衡方程(a)与补充方程(e)ax=FL2/(L1+L2) FBx=FL1/(L1+L2) 图示结构,梁BD为刚体,杆1与杆2用同一种材料制成,横截面面积均为A=300mm2,许用应力[σ]=160MPa,载荷F=50kN,试校核杆的强度。 解:(1)以BC为研究对象,受力 如图8-27(1) 列平衡方程 ?MB = 0 N1 ? a + N2 ? 2a – F ? 2a = 0 (a) (2)变形图如图8-27(2),则 2Δ?1 = Δ?2 (b) 列补充方程 Δ?1 = N1?1 ? (EA) (c) Δ?2 = N2?2 ? (EA) (d) 由(a)、(b)、(c)和(d)式解得 N1 = 20 kN N2 = 40 kN

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