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—— 菲尔兹奖得主 Timothy Gowers 论如何解三次方程 —— How to Discover for Yourself the Solution of the Cubic 如何亲自发现三次方程的解法 ???????????? by Timothy Gowers???????谢国芳译 Email: roixie@163.com 让我们想象自己面对着一个三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0. 解出该方程意味着要写出一个求它的根的公式，该公式应该以系数a, b, c和一些常数 ( 即不依赖于a, b, c的数 ) 表示，并且只用加减乘除和开方运算。 正如我在其他网页里所做的那样，我将表明这样的一个公式可以凭着标准的数学直觉推导出来，而不需要神秘的灵感闪现。我当然不是断言任何有理性的人都能在一两个小时内推导出这个公式——通常需要尝试几种不成功的直觉之后才能发现正确的标准化数学直觉。然而，在任何给定的情况下，合适的直觉的列表一般不会太长。如果你年轻，雄心勃勃，但还不知道如何解三次方程，那么我建议你亲自动手一试，或者在读一点本页的内容之后再作尝试，你在几个小时内获得成功的可能性很可能比你预想的高。 让我们从一个数学中最普遍有效（而且明显易懂）的解题原则开始吧： 如果你正试图解决一个问题，看看能不能把一个已知的解法类推应用于一个类似的问题。 运用这个原则可以避免对每一个新问题都从头开始。重要的并不是该问题本身的难度，而是克服该问题和其他已经解决的问题之间的差异的难度。 二次方程的解法 在现在这个情形中，显而易见，我们想到的类似的问题就是解二次方程 x2 + 2ax + b = 0 （我加上因子2仅仅是为了方便，当然这在数学上没有任何区别）。我们怎么办呢？唔，我们 注意到 x2 + 2ax +b = (x+a)2 + b - a2 这很快就导出解 x = -a ± (a2 -b)1/2 这一招高明吗？在接下去考虑三次方程之前详细考察这个更初等的方程是有益的，所以让我们假想我们甚至不知道如何解二次方程，一个可能把我们引向它的解的思路是这样的： 在干瞪着一般的方程 x2 + 2ax +b = 0 毫无头绪之后，我们退回到下面这个问题： 有我知道如何求解的特殊情形吗？ 然后，我们有点尴尬地注意到当 a = 0 时我们能解这个方程，也就是说，我们能解方程 x2 + b = 0（因为我们可以开平方根）。接下去，我们也许注意到如果 b = a 2 那么我们就得到了方程 x2+ 2ax + a2 = 0, 它可以改写为 (x+a)2 = 0. 一旦注意到这一点，我们就会认识到有帮助的并不是方程的右边是0，而是左边是一个完全平方，所以我们对于任意的 b 都能解出 (x+a)2 = b ，这给了我们一大类能解出的二次方程，所以我们不问下面这个问题就太蠢了： 有不能改写成 (x+a) 2 = b 这种形式的二次方程吗？ 为了回答这个问题，我们需要把它重新写回原来的形式，这只要乘出括号，把 b 移到方程的左边就行了，这样我们就得到了方程 x2 + 2ax + a2 - b = 0. 到此就非常清楚了，我们可以令 2a 等于任何一个我们需要的数，在这样做了之后，接着我们又可以令 a2 - b 等于任何另一个我们需要的数，于是二次方程就解出来了。 如果你觉得看出方程 x2 + 2ax + a2 = 0可解是一个过高的要求，那么还有另外一条路径：想知道 1+21/2 是否是一个代数数并不需要太多的好奇心，注意到如果 x=1+21/2 则 (x-1)2 = 2 也不需要太多的才华，只要把这个例子加以推广，你很快就会认识到形如 (x+a)2 = b 的方程是可解的。 ? 三次方程的初步简化 什么是配方这一操作在三次方程中的自然推广呢？要回答此类问题，下面这一策略常常是有用的： 对你想要推广的东西给出一个一般性的描述。 我将尝试直接通过实例来阐明我的意思。为了配方，我们注意到 (x+a/2)2 = x2 + ax +a2/4 因此我们可以把任何以x2 + ax 开始的二次方程写成 (x+a/2)2 加一个常数的形式。 换一种说法是，如果我们令 y = x + a/2，那么 y 就满足一个形式特别简单的二次方程 y2 + C = 0。当然，一旦我们解出了这个关于 y 的方程，就很容易解得到x，因为 x 是 y 的一个很简单的一次函数。在这个关于 y 的这个方程中，什么变得更简单了呢？对于这个问题有两个合理的回答，把两者都考察一下是值得的。 第一个回答是注意到这个关于 y 的方程只包含 y2 和一个常数项——所以用