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北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2014.1 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合，，则集合（ ） （A） （B） （C） （D） 2．已知复数z满足，那么的虚部为（ ） （A） （B） （C） （D） 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，则（ ） （A） （B） （C） （D） 4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） （A） （B） （C） （D） 5．已知圆与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 6． 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数,满足（ ） （A） （B） （C） （D） 7．定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ） （A） （B） （C） （D） 8. 如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形 （含三角形）的周长为y，设x， 则当时，函数的值域为（ ） （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在平面直角坐标系中，点，，若向量，则实数 _____． 10．若等差数列满足，，则公差______；______． 11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______． 12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答） 13． 如图，为圆上的两个点，为延长线上一点，为圆的切线，为切点. 若，，则______；______． 14．在平面直角坐标系中，记不等式组所表示的平面区域为.在映射的作用下，区域内的点对应的象为点. （1）在映射的作用下，点的原象是 ； （2）由点所形成的平面区域的面积为______． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数，，且的最小正周期为. （Ⅰ）若，，求的值； （Ⅱ）求函数的单调增区间. 16．（本小题满分13分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示． （Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率； （Ⅲ）当时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分） 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3， H是CF的中点. （Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF； （Ⅱ）求直线DH与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角的大小. 18．（本小题满分13分） 已知函数，其中是自然对数的底数，. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由. 19．（本小题满分14分） 已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为k， 为坐标原点. （Ⅰ）若抛物线的焦点在直线的下方，求k的取值范围； （Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为，求的最小值. 20．（本小题满分13分） 设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为. （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：. （Ⅲ）证明：（）的充分必要条件为. 北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末 高三数学（理科）2014.1 参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．B ； 5．A ； 6．C ； 7．A 8．D； 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 ； 10．