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角函数与角形应用举例
第4章 第7节
一、选择题
1.(2010·广东六校)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )km.( )
A.a B.a
C.2a D.a
[答案] D
[解析] 依题意得∠ACB=120°.
由余弦定理
cos120°=
∴AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°
=a2+a2-2a2=3a2
∴AB=a.故选D.
2.(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC中,“sinA”是“∠A”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 在△ABC中,若sinA,则∠A,反之∠A时,不一定有sinA,如A=时,sinA=sin=sin=.
(理)在△ABC中,角A、B所对的边长为a、b,则“a=b”是“acosA=bcosB”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 当a=b时,A=B,
∴acosA=bcosB;
当acosA=bcosB时,
由正弦定理得
sinA·cosA=sinB·cosB,
∴sin2A=sin2B,
∴2A=2B或2A=π-2B,
∴A=B或A+B=.
则a=b或a2+b2=c2.
所以“a=b”?“acosA=bcosB”,
“acosA=bcosB”?/ “a=b”,故选A.
3.已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,观测得∠ABC=120°,则AC两地的距离为( )
A.10km B.km
C.10km D.10km
[答案] D
[解析] 如图,△ABC中,AB=10,BC=20,∠B=120°,由余弦定理得,
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°
=102+202-2×10×20×=700,
∴AC=10km.∴选D.
4.(文)在△ABC中,sin2=(a、b、c分别为角A、B、C的对应边),则△ABC的形状为( )
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
[答案] B
[解析] sin2==,∴cosA=,
∴=,∴a2+b2=c2,故选B.
(理)(2010·河北邯郸)在△ABC中,sin2A+cos2B=1,则cosA+cosB+cosC的最大值为( )
A. B.
C.1 D.
[答案] D
[解析] ∵sin2A+cos2B=1,∴sin2A=sin2B,
∵0A,Bπ,∴sinA=sinB,∴A=B.
故cosA+cosB+cosC=2cosA-cos2A
=-2cos2A+2cosA+1=-2(cosA-)2+,
∵0A,∴0cosA1,∴cosA=时,取得最大值.
5.(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC的外接圆半径为R,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,那么角C的大小为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由正弦定理得,a2-c2=ab-b2,
∴cosC==,
∵0Cπ,∴C=.
(理)已知a、b、c是△ABC三内角A、B、C的对边,且A为锐角,若sin2A-cos2A=,则( )
A.b+c2a B.b+c≤2a
C.b+c=2a D.b+c≥2a
[答案] B
[解析] ∵sin2A-cos2A=,∴cos2A=-,
又A为锐角,∴A=60°,∴B+C=120°,
∴==
=cos≤1,∴b+c≤2a.
6.(2010·北京顺义一中月考)在△ABC中,已知cosA=,sinB=,则cosC的值为( )
A. B.
C.或 D.-
[答案] A
[解析] ∵cosA=,∴sinA==sinB,∴AB,
∵sinB=,∴cosB=,∴cosC=cos[π-(A+B)]
=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=.
[点评] 在△ABC中,有sinAsinB?AB.
7.在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°,再向塔底方向前进100m,又测得塔尖的仰角为60°,则此电视塔高约为________m.( )
A.237 B.227
C.247 D.257
[答案] A
[解析] 如图,∠D=45°,∠ACB=60°,DC=100,∠DAC=15°,
∵AC=,
∴AB=AC·sin60°
=
=≈23
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