角函数与角形应用举例.docVIP

第4章 第7节 一、选择题 1．(2010·广东六校)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)km.(　　) A．a　　　　 B.a　　　 C．2a　　　 D.a [答案]　D [解析]　依题意得∠ACB＝120°. 由余弦定理 cos120°＝ ∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120° ＝a2＋a2－2a2＝3a2 ∴AB＝a.故选D. 2．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC中，“sinA”是“∠A”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　A [解析]　在△ABC中，若sinA，则∠A，反之∠A时，不一定有sinA，如A＝时，sinA＝sin＝sin＝. (理)在△ABC中，角A、B所对的边长为a、b，则“a＝b”是“acosA＝bcosB”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　A [解析]　当a＝b时，A＝B， ∴acosA＝bcosB； 当acosA＝bcosB时， 由正弦定理得 sinA·cosA＝sinB·cosB， ∴sin2A＝sin2B， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝. 则a＝b或a2＋b2＝c2. 所以“a＝b”?“acosA＝bcosB”， “acosA＝bcosB”?/ “a＝b”，故选A. 3．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，观测得∠ABC＝120°，则AC两地的距离为(　　) A．10km B.km C．10km D．10km [答案]　D [解析]　如图，△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠B＝120°，由余弦定理得， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120° ＝102＋202－2×10×20×＝700， ∴AC＝10km.∴选D. 4．(文)在△ABC中，sin2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 [答案]　B [解析]　sin2＝＝，∴cosA＝， ∴＝，∴a2＋b2＝c2，故选B. (理)(2010·河北邯郸)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为(　　) A. B. C．1 D. [答案]　D [解析]　∵sin2A＋cos2B＝1，∴sin2A＝sin2B， ∵0A，Bπ，∴sinA＝sinB，∴A＝B. 故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A ＝－2cos2A＋2cosA＋1＝－2(cosA－)2＋， ∵0A，∴0cosA1，∴cosA＝时，取得最大值. 5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC的外接圆半径为R，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，那么角C的大小为(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　由正弦定理得，a2－c2＝ab－b2， ∴cosC＝＝， ∵0Cπ，∴C＝. (理)已知a、b、c是△ABC三内角A、B、C的对边，且A为锐角，若sin2A－cos2A＝，则(　　) A．b＋c2a B．b＋c≤2a C．b＋c＝2a D．b＋c≥2a [答案]　B [解析]　∵sin2A－cos2A＝，∴cos2A＝－， 又A为锐角，∴A＝60°，∴B＋C＝120°， ∴＝＝ ＝cos≤1，∴b＋c≤2a. 6．(2010·北京顺义一中月考)在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC的值为(　　) A. B. C.或 D．－ [答案]　A [解析]　∵cosA＝，∴sinA＝＝sinB，∴AB， ∵sinB＝，∴cosB＝，∴cosC＝cos[π－(A＋B)] ＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝. [点评]　在△ABC中，有sinAsinB?AB. 7．在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m．(　　) A．237 B．227 C．247 D．257 [答案]　A [解析]　如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝100，∠DAC＝15°， ∵AC＝， ∴AB＝AC·sin60° ＝ ＝≈23