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三角形中心 　　三角形只有五种心 　　重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；重心分中线比为1：2； 　　垂心:三角形三条高的交点; 　　内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 　　外心:三中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称； 　　旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称. 　　当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心. 　　重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明。证明过程又是塞瓦定理的特例。 　　已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。 　　求证：F为AB中点。 　　证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BO ?? ?? C，再应用从中点得AF=BF，命题得证。 　　重心的几条性质及证明方法： 　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 　　证明方法： 　　在▲ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h 则，S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC)，S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以，S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB) 　　3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。 (等边三角形） 　　证明方法： 　　设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 　　显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论 　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 　　5、三角形内到三边距离之积最大的点。 　　重 心 　　三条中线定相交，交点位置真奇巧， 　　交点命名为“重心”，重心性质要明了， 　　重心分割中线段，数段之比听分晓； 　　长短之比二比一，灵活运用掌握好． 目录定义 三角形垂心的性质 编辑本段定义 　　三角形三条边上的高交于一点，该点叫做三角形的垂心。 编辑本段三角形垂心的性质 　　设ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 　　3、 垂心H关于三边的对称点，均在ABC的外接圆上。 　　4、 ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。 　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 　　6、 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圆是等圆。 　　7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 　　8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 　　9、 设O，H分别为ABC的外心和垂心，则BAO=∠HAC，ABH=∠OBC，BCO=∠HCA。 　　10、 锐角三角形的垂心到三顶