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角形旋转
三角形旋转
三角形旋转问题考察旋转变换,三角形全等,三角形相似,三角形面积,线段长度的最值,综合性非常强。
(2011浙江宁波3分)如图,⊙O1 的半径为1,正方形ABCD的边长为6,
点O2为正方形ABCD的中心,O1O2垂直AB于P点,O1O2 =8.若将⊙O1
绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O1与正方形ABCD的边
只有一个公共点的情况一共出现
(A)3次 (B)5次 (C)6次 (D)7次
【答案】B。
【考点】直线与圆的位置关系,正方形的性质
【分析】∵⊙O1的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O2为正方形ABCD的中心,O1O2垂直AB于P点,
设O1O2交圆O1于M,∴PM=8-3-1=4。∴圆O1与以P为圆心,以4为半径的圆相外切。
∴在旋转过程中,⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现5次。
故选B。
问题:证明边相等
思路:三角形全等
问题:求周长最值
思路:和存在性问题结合。列出周长函数解析式,配方法求出最值
(2012四川省南充市,21,8分) 在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ中点,把一三角尺的直角顶点放在点M处,以M为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.
(1)求证:MA=MB;
(2)连接AB,探究:在旋转三角尺的过程中,△AOB的周长是否存在最小值.若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
解析:(1)连接OM.证明⊿AMO ≌⊿AMO即可.(2)在Rt⊿AOB中,运用勾股定理得到求AB长的式子,转化成二次函数的问题,运用二次函数的最值求解.
答案:(1)证明:连接OM.
∵⊿PQR是等腰之间三角形且M是斜边PQ的中点,
∴MO=MQ,∠MOA=∠MOAMQB=450.
∵∠AMO+∠OMB=900,∠OMB+∠AMO =900.
∴∠AMO =∠AMO.
∴⊿AMO ≌⊿AMO.
∴MA=MB.
(2)解:由(1)中⊿AMO ≌⊿AMO得AO=BQ.
设AO=x,则OB=4-x.
在Rt⊿OAB中,.
∴当x=2时,AB的最小值为,
∴⊿AOB的周长的最小值为.
点评:本题以直角三角形为基本图形,综合考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理和二次函数的性质等知识点.考查了学生综合运用数学知识以及转化的数学思想解决问题的能力.对于几何知识与二次函数的综合,是学生解题的难点之一.难度较大
例1.【2012义乌市23题】在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,
将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.
(1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数;
(2)如图2,连接AA1,CC1.若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积;
(3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC
绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长
度的最大值与最小值.
考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质。
解答:解:
由旋转的性质可得:
∠A1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,
∴∠CC1B=∠C1CB=45°,
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°.
(2)∵△ABC≌△A1BC1,
∴BA=BA1,BC=BC1,∠ABC=∠A1BC1,
∴,∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1,
∴∠ABA1=∠CBC1,
∴△ABA1∽△CBC1.
∴,
∵S△ABA1=4,∴S△CBC1=;
(3)过点B作BD⊥AC,D为垂足,
∵△ABC为锐角三角形,
∴点D在线段AC上,
在Rt△BCD中,BD=BC×sin45°=,
①如图,当P在AC上运动至垂足点D,
△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1
在线段AB上时,EP1最小,最小值为:
EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2;
②当P在AC上运动至点C,△ABC绕点B
旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延
长线上时,EP1最大,最大值为:
EP1=BC+AE=2+5=7.
例2.【2012?益阳】已知:如图1,在面积为3的正方形ABCD
中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且
BE=1.
(1)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积;
(2)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△
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