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三角形旋转 三角形旋转问题考察旋转变换，三角形全等，三角形相似，三角形面积，线段长度的最值，综合性非常强。 （2011浙江宁波3分）如图，⊙O1 的半径为１，正方形ABCD的边长为6， 点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2 =8．若将⊙O1 绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边 只有一个公共点的情况一共出现 (A)3次　 (B)5次 (C)6次　　 (D)7次 【答案】B。 【考点】直线与圆的位置关系，正方形的性质 【分析】∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点， 设O1O2交圆O1于M，∴PM=8－3－1=4。∴圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切。 ∴在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现5次。 故选B。 问题：证明边相等 思路：三角形全等 问题：求周长最值 思路：和存在性问题结合。列出周长函数解析式，配方法求出最值 (2012四川省南充市，21，8分) 在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B. （1）求证：MA=MB; （2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 解析：（1）连接OM.证明⊿AMO ≌⊿AMO即可.（2）在Rt⊿AOB中，运用勾股定理得到求AB长的式子，转化成二次函数的问题，运用二次函数的最值求解. 答案：（1）证明：连接OM. ∵⊿PQR是等腰之间三角形且M是斜边PQ的中点， ∴MO=MQ，∠MOA=∠MOAMQB=450. ∵∠AMO+∠OMB=900，∠OMB+∠AMO =900. ∴∠AMO =∠AMO. ∴⊿AMO ≌⊿AMO. ∴MA=MB. （2）解：由（1）中⊿AMO ≌⊿AMO得AO=BQ. 设AO=x，则OB=4-x. 在Rt⊿OAB中，. ∴当x=2时，AB的最小值为， ∴⊿AOB的周长的最小值为. 点评：本题以直角三角形为基本图形，综合考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理和二次函数的性质等知识点.考查了学生综合运用数学知识以及转化的数学思想解决问题的能力.对于几何知识与二次函数的综合，是学生解题的难点之一.难度较大 例1.【2012义乌市23题】在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°， 将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长 度的最大值与最小值． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。 解答：解： 由旋转的性质可得： ∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1， ∴∠CC1B=∠C1CB=45°， ∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°． （2）∵△ABC≌△A1BC1， ∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1， ∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1， ∴∠ABA1=∠CBC1， ∴△ABA1∽△CBC1． ∴， ∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=； （3）过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形， ∴点D在线段AC上， 在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=， ①如图，当P在AC上运动至垂足点D， △ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1 在线段AB上时，EP1最小，最小值为： EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2； ②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B 旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延 长线上时，EP1最大，最大值为： EP1=BC+AE=2+5=7． 例2.【2012?益阳】已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD 中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且 BE=1． （1）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积； （2）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△