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三角板画圆锥曲线 ——温州中学 孔 娣 摘要：本文讨论了借助垂足曲线与反垂足曲线利用三角板画圆锥曲线的有关问题。全文共由三部分组成。引言部分说明了垂足曲线与反垂足曲线在数学教学中的使用。主题部分说明了垂足曲线与反垂足曲线的定义及曲线的垂足曲线与反垂足曲线的作法程序。应用部分说明了如何利用垂足曲线与反垂足曲线画抛物线椭圆和双曲线。 关键词：垂足曲线、反垂足曲线、切线、垂足、抛物线、椭圆、双曲线、圆、直线、轨迹。 引言 以前我们接触的手动画曲线的方法基本有两种：一种是描点法，即根据方程描绘出几个主要点，然后用平滑的曲线连结点得到函数曲线；另一种是借助于教具，像用圆规画圆，用固定一根绳的方法画椭圆。除此之外，还有一种画曲线的方法，那就是利用三角板画曲线，这种画法不但可以用来画抛物线椭圆 和双曲线，而且可以用来画其它曲线。 这种利用三角板画曲线的方法是以垂足曲线与反垂足曲线为背景的。 垂足曲线与反垂足曲线定义 在图中有一条曲线c，设M是平面曲线c上的任一点，O是这张平面内的一定点.，过M作曲线c的切线MT，再作OP垂直于MT，垂足为P。当M沿曲线c移动时，垂足P也画出一条曲线s，s就叫作曲线c关于O点的垂足曲线。反过来，c叫做曲线s关与O点的反垂足曲线。 图中的角OPM可以用三角板来实现，这就是三角板画法的本质。具体的说，让三角板的一条直角边通过O点，另一条直角边与曲线c相切，这时直角顶点P的位置就指出了c关与O点的垂足曲线s。 如果让三角板的一条直角边通过O点，直角顶点P在曲线 s上移动，这时另一条直角边就绘出了一族直线。与这族直线都相切的光滑曲线，就是s关与O点的反垂足曲线c。 圆锥曲线关于定点的垂足曲线 下面我们做一些曲线关于定点的垂足曲线。 1. 抛物线关于定点O(0,0)的垂足曲线： 先设M(x0,y0)为抛物线上任一点，过点M(x0,y0) 的抛物线的切线为L,利用求导运算得L的斜率为，则L的方程为 (1) 直线m为过定点O(0,0)与L垂直的直线。直线m的斜率为，直线m的方程为（2） 又点M(x0,y0) 在抛物线上，即 （3） 联立（1）、（2）、（3）解得直线L,m的交点p的坐标： 利用几何画板得到P的轨迹  2. 抛物线关于其焦点O（0,1）垂足曲线： 先设M(x0,y0)为抛物线上任一点，过点M(x0,y0) 的抛物线的切线为L,利用求导运算得L的斜率为，则L的方程为 (1) 直线m为过定点O(0,1)与L垂直的直线。直线m的斜率为，直线m的方程为（2） 又点M(x0,y0) 在抛物线上，即 （3） 联立（1）、（2）、（3）解得直线L,m的交点p的坐标： 利用几何画板得到P的轨迹 3. 双曲线关于其焦点O（5，0）的垂足曲线： 先设M(x0,y0)为双曲线上任一点，过点M(x0,y0) 的双曲线的切线为L,利用求导运算得L的斜率为，则L的方程为 (1) 直线m为过定点O(5,0)与L垂直的直线。直线m的斜率为，直线m的方程为（2） 又点M(x0,y0) 在双曲线上，即（3） 联立（1）、（2）、（3）解得直线L,m的交点p的坐标： 得到P的轨迹 4.椭圆关于其焦点O（2，0）的垂足曲线： 先设M(x0,y0)为上任一点，过点M(x0,y0) 的椭圆的切线为L,利用求导运算得L的斜率为，则L的方程为 (1) 直线m为过定点O(2,0)与L垂直的直线。直线m的斜率为，直线m的方程为（2） 又点M(x0,y0) 在椭圆上，即（3） 联立（1）、（2）、（3）解得直线L,m的交点p的坐标： 得到P的轨迹 应用反垂足曲线画圆锥曲线 有以上讨论可知，抛物线关于其焦点的垂足曲线是直线，椭圆和双曲线关于其焦点的垂足曲线都是圆。反过来，直线关于线外一点的反垂足曲线是抛物线，圆周关于圆内一点的反垂足曲线是椭圆，圆周关于圆外一点的反垂足曲线是双曲线。正是利用这些性质，设计出了利用三角板画抛物线、椭圆和双曲线的方法。 下面我们看一下反垂足曲线的应用。 1. 直线关于线外于线外一点的反垂足曲线： O(1,0)为直线L:外一点，P(x0,y0)为L上任一点，过O,P两点的直线为m ,m的斜率为：，过点P与m垂直的直线为n, n的斜率为，n的方程为： （1） 点P(x0,y0)在L:上，则有x0= (2) 联立（1）、（2）得到n的方程为 （3） 再求直线族（3）的包络线：将（3）对y0求导，得到 将代入（3）得到，为抛物线。 2. 圆周关于圆内一点的反垂足曲线： O(1,0)为圆s:内一点，P(x0,y0)为s上任一点，过O,P两点的直线为m ,m