解析几何专题直线与椭圆基础问题.docVIP

解析几何专题04直线与椭圆基础问题 学习目标 （1）能够根据直线与椭圆的方程准确判断它们之间的位置关系； （2）能够利用弦长公式准确求解直线被椭圆截得的弦长，并在此基础上解决相关三角形的面积问题； （3）能够利用“点差法”以及“韦达定理”正确求解椭圆的弦中点问题； （4）初步熟悉直线与椭圆综合问题的解题程序。 知识回顾及应用 1．直线与椭圆的位置关系 （1）从图形的角度看，直线和椭圆有几种位置关系？ （2）从方程的角度看，如何判断直线和椭圆的位置关系？ 2．(1)弦长公式 (2)弦长公式的常规处理方式 3．(1)利用“点差法”求解弦中点问题的一般程序 (2)利用“韦达定理”求解弦中点问题的一般程序 4．应用所学知识解决问题： 【题目】设实数满足，则方程是否有解？ 【答案】无解 【变式1】设实数满足，若方程恰有一组解，求实数的值。 【答案】 【变式2】设实数满足，求的取值范围。 【答案】 【变式3】设实数满足，求的取值范围。 【答案】 问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题） 【类型一】直线与椭圆位置关系的判断 例1．，直线，椭圆上是否存在一点，它到直 线l的距离最小？最小距离是多少？ 【答案】存在；最小距离是。 提示：直线和椭圆相离；椭圆与直线l平行且距离直线l较近的切线方程为 ；。 练习：设直线与椭圆相交于两个不同的点. 求实数的取值范围。 解：将代入，消去， 整理得． 因为直线与椭圆相交于两个不同的点， 所以， 解得． 所以的取值范围为． 【类型二】椭圆的弦中点问题 例2中心在原点，一个焦点为F（0，）的椭圆被直线所截得弦的中点横坐标是，求椭圆方程。 【答案】 提示：本题可以用“韦达定理”，也可以用“点差法”。 练习： 已知（4，2）是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是。 【类型三】 椭圆的弦长问题 例3．已知椭圆与直线交于不同的两点，求. 【答案】 练习：（1）已知椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于不同的两点，求的面积. 【答案】的面积为 （2）已知椭圆的右顶点为，若过点的直线与椭圆交于不同的两点，当的面积为时，求直线的方程. 【答案】 检测 1．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB最大面积为(　D　) A．b2 B．ab C．ac D．bc ．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为(　A　) A. B. C. D. 3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为(　C　) A．2 B. C. D. 4．已知椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝______. 答案： 5．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是__________．m≥1且m≠5 6．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，那么这弦所在直线方程为 。 【能力提升】 7．已知椭圆，过椭圆右焦点的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为 。 答案：或 8. 试确定实数的取值范围，使得椭圆上存在关于直线对称的点。 答案： 纠错矫正 总结反思 4 判断直线与椭圆的位置关系一般都采用“判别式法”：联立方程组，消去，得到一个关于的一元二次方程，再根据判别式的符号作出判断。 弦长公式常常配合韦达定理一起使用： 其中是直线的斜率，分别是A,B两点的横坐标。 一般地，椭圆的弦中点问题有两种常用处理手段：一是利用“韦达定理”（联立方程组）；二是利用“点差法”（将弦的两个端点坐标分别代入椭圆方程后作差）。 注意：无论使用上述哪种方法，都不能忽视判别式的验证！