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解析几何专题直线与椭圆基础问题
解析几何专题04直线与椭圆基础问题
学习目标
(1)能够根据直线与椭圆的方程准确判断它们之间的位置关系;
(2)能够利用弦长公式准确求解直线被椭圆截得的弦长,并在此基础上解决相关三角形的面积问题;
(3)能够利用“点差法”以及“韦达定理”正确求解椭圆的弦中点问题;
(4)初步熟悉直线与椭圆综合问题的解题程序。
知识回顾及应用
1.直线与椭圆的位置关系
(1)从图形的角度看,直线和椭圆有几种位置关系?
(2)从方程的角度看,如何判断直线和椭圆的位置关系?
2.(1)弦长公式
(2)弦长公式的常规处理方式
3.(1)利用“点差法”求解弦中点问题的一般程序
(2)利用“韦达定理”求解弦中点问题的一般程序
4.应用所学知识解决问题:
【题目】设实数满足,则方程是否有解?
【答案】无解
【变式1】设实数满足,若方程恰有一组解,求实数的值。
【答案】
【变式2】设实数满足,求的取值范围。
【答案】
【变式3】设实数满足,求的取值范围。
【答案】
问题探究(请先阅读课本,再完成下面例题)
【类型一】直线与椭圆位置关系的判断
例1.,直线,椭圆上是否存在一点,它到直
线l的距离最小?最小距离是多少?
【答案】存在;最小距离是。
提示:直线和椭圆相离;椭圆与直线l平行且距离直线l较近的切线方程为
;。
练习:设直线与椭圆相交于两个不同的点. 求实数的取值范围。
解:将代入,消去,
整理得.
因为直线与椭圆相交于两个不同的点,
所以, 解得.
所以的取值范围为.
【类型二】椭圆的弦中点问题
例2中心在原点,一个焦点为F(0,)的椭圆被直线所截得弦的中点横坐标是,求椭圆方程。
【答案】
提示:本题可以用“韦达定理”,也可以用“点差法”。
练习: 已知(4,2)是直线被椭圆所截得的线段的中点,则直线的方程是。
【类型三】 椭圆的弦长问题
例3.已知椭圆与直线交于不同的两点,求.
【答案】
练习:(1)已知椭圆的右顶点为,直线与椭圆交于不同的两点,求的面积.
【答案】的面积为
(2)已知椭圆的右顶点为,若过点的直线与椭圆交于不同的两点,当的面积为时,求直线的方程.
【答案】
检测
1.AB为过椭圆+=1中心的弦,F(c,0)为它的焦点,则△FAB最大面积为( D )
A.b2 B.ab C.ac D.bc
.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2,过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点,若△PF1F2为直角三角形,则椭圆E的离心率为( A )
A. B. C. D.
3.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的最大值为( C )
A.2 B. C. D.
4.已知椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=______.
答案:
5.直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围是__________.m≥1且m≠5
6.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,那么这弦所在直线方程为
。
【能力提升】
7.已知椭圆,过椭圆右焦点的直线被椭圆截得的弦长为,则直线的方程为 。
答案:或
8. 试确定实数的取值范围,使得椭圆上存在关于直线对称的点。
答案:
纠错矫正
总结反思
4
判断直线与椭圆的位置关系一般都采用“判别式法”:联立方程组,消去,得到一个关于的一元二次方程,再根据判别式的符号作出判断。
弦长公式常常配合韦达定理一起使用:
其中是直线的斜率,分别是A,B两点的横坐标。
一般地,椭圆的弦中点问题有两种常用处理手段:一是利用“韦达定理”(联立方程组);二是利用“点差法”(将弦的两个端点坐标分别代入椭圆方程后作差)。
注意:无论使用上述哪种方法,都不能忽视判别式的验证!
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