解析几何与微分几何SECTION9.docVIP

§9 空间曲线 曲线的基本概念与公式 [曲线的方程与正向] 曲 线 方 程 的 形 式 曲 线 的 正 向 交面式 参数式或 （t为任意参数，s为曲线的弧长） 矢量式r = r ( t )或r = r ( s ) （r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, t, s同上） t（或s）增加时，曲线上一点运动的方向 图 7.18 [活动标架的三个单位矢量] t为单位切线矢量，方向与曲线的正向一致；n为单位主法线矢量，它指向曲线的凹方；b为单位副法线矢量，b=tn.t,n,b构成右手系（图7.18）.这三个矢量称为曲线在点M的活动标架（或叫动标三面形、伴随三面形，也叫活动标形）. [活动标架所在直线和平面的方程] 设M为(x0,y0,z0)（图7.18）. 1° 切线 过曲线上两点N,M的直线NM，当NM时的极限位置.其方程为 参数式 （以t为参数） 式中表示在点M(x0,y0,z0)处的值，等等.参数t可以取为弧长s，这时用表示，等等. 矢量式 r=r0+（以t为参数） 式中表示在点M(x0,y0,z0)处的值，为另一个参数. 交面式 式中表示在M点的值，等等. 2° 法面 与切线垂直的平面（通过M的法面上一切直线都称为曲线在M的法线）.其方程为 参数式 (x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=0（以t为参数） 式中也可取弧长s为参数. 矢量式 (r-r0) =0（以t为参数） 交面式 3° 密切面 通过曲线上三点M,P,N作一平面，当时，平面的极限位置（切线在密切面上）.其方程为 参数式 （以t为参数） 式中表示在M点的值，等等，参数t也可取为弧长s. 矢量式 ((r-r0))=0（以t为参数） 4° 主法线 法面与密切面的交线.其方程为 参数式 （以t为参数） 式中 l=, m=, n= （以s为参数） 表示在点M的值，等等. 矢量式 r=r0+ （以t为参数） r=r0+ （以s为参数） 式中为另一个参数. 5° 副法线 垂直于密切面的直线.其方程为 参数式 （以t为参数） 式中l,m,n如(1)式定义. 矢量式 r0=r0+ （以t为参数） 6° 从切面 通过切线与副法线的平面.其方程为 参数式 （以t为参数） （以s为参数） 矢量式 （以t为参数） （以s为参数） [曲率与挠率的定义与公式] 公 式 与 意 义 图 形 曲率 曲率半径 k表示包含点M的部分曲线偏离直线的程度，也是切线方向对于弧长的转动率 挠率 挠率半径 表示包含点M的部分曲线偏离平面曲线的程度.=0的曲线是平面曲线. 是曲线在点M挠率的绝对值，它等于副法线方向对于弧长的转动率. 挠率的符号：当点M沿曲线的正向移动时，矢量与n反向，则取正号，反之取负号（图(b)） (a) (b) 表中分别表示t,b对s的导数. [曲率与挠率的计算公式] 1° 曲率 参数式 k=（以t为参数） k= （以s为参数） 矢量式 k=或 （以t为参数） k= （以s为参数） 2° 挠率的绝对值 参数式 （以t为参数） （以s为参数） 矢量式 或 （以t为参数） （以s为参数） 式中s为弧长，t为任意参数，“(”表示对s求导,“(” 表示对t求导. [雪列-弗莱纳公式（或基本公式）] , , 式中t,n,b为活动标架的三个基本单位矢量，为曲率半径，为挠率半径.这组公式的特点就是基本矢量t,n,b关于弧长s的导数可以用t,n,b的线性组合来表达，它的系数组成一个反对称方阵： 这组公式与=t合并起来描述了点M在曲线上移动时活动标架的运动规律. 把活动标架看作一个刚体，就是当M沿曲线移动时，M的活动标架好象刚体那样绕M转动.这时把s看作时间，则根据运动学的原理可以得出活动标架的瞬时转动速度的表达式为 这表明转动矢量落在从法面上.这个瞬时转动矢量称为达布矢量.它仅分解为两个矢量t和b，因此活动标架的瞬时转动可以看作两个转动之和.一个转动对应于t,按转动速度的定义，它绕着方向为t的轴转动；另一个绕着方向为b的轴转动.因此得到曲率与挠率的运动学意义： 曲线的曲率等于活动标架绕着副法线的转动支量，挠率等于绕着切线的转动支量. 最后，由可以验