解析几何版吕林根课后习题答案.docVIP

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： 且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 中消去，得到： 即： 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为： 而在准线上，所以 上式中消去后得到： 此即为要求的柱面方程。 2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 解：由题意知：母线平行于矢量 任取准线上一点，过的母线方程为： 而在准线上，所以： 消去，得到： 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为，这三点所定的在平面上的圆的圆心为，圆的方程为： 此即为欲求的圆柱面的准线。 又过准线上一点，且方向为的直线方程为： 将此式代入准线方程，并消去得到： 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为，母线的方向平行于矢量，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： 与 式中的为参数。 证明：对柱面上任一点，过的母线与准线交于点，则， 即 亦即， 此即为柱面的矢量式参数方程。 又若将上述方程用分量表达，即： 此即为柱面的坐标式参数方程。 § 4.2锥面 1、求顶点在原点，准线为的锥面方程。 解：设为锥面上任一点，过与的直线为： 设其与准线交于，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去参数，得： 即： 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为，准线为，试求它的方程。 解：设为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为： 令它与准线交于，即存在，使 将它们代入准线方程，并消去得： 此为要求的锥面方程。 4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。 解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推） 圆锥的轴与等角，故的方向数为 与垂直的平面之一令为 平面在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点，该圆的圆心为，故该圆的方程为： 它即为要求圆锥面的准线。 对锥面上任一点，过与顶点的母线为： 令它与准线的交点为，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去得： 此即为要求的圆锥面的方程。 5、求顶点为，轴与平面垂直，且经过点的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为： 过点且垂直于轴的平面为： 即： 该平面与轴的交点为，它与的距离为： 要求圆锥面的准线为： 对锥面上任一点，过该点与顶点的母线为： 令它与准线的交点为，即存在，使 将它们代入准线方程，并消去得： 6、已知锥面的准线为，顶点决定的径矢为，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： 与 式中，为参数。 证明：对锥面上任一点，令，它与顶点的连线交准线于，即。 ，且（顶点不在准线上） 即 亦即 此为锥面的矢量式参数方程。 若将矢量式参数方程用分量表示，即： 此为锥面的坐标式参数方程，为参数。 § 4.3旋转曲面 1、求下列旋转曲面的方程： （1）；绕旋转 （2）；绕旋转 （3）绕轴旋转； （4）空间曲线绕轴旋转。 解：（1）设是母线上任一点，过的纬圆为： 又在母线上。 从（1）——（3）消去，得到： 此为所求的旋转面方程。 （2）对母线上任一点，过的纬圆为： 因在母线上， (3) 从（1）——（3）消去，得到： 此为所求的旋转面的方程。 （3）对母线上任一点，过该点的纬圆为： 又在母线上，所以： （3） 从（1）——（3）消去，得到： 此为所求的旋转面方程。 （4）对母线上任一点，过的纬圆为： 又在母线上，所以 从（1）——（3）消去，得到： 即旋转面的方程为： 2、将直线绕轴旋转，求这旋转面的方程，并就可能的值讨论这是什么曲面？ 解：先求旋转面的方程式： 任取母线上一点，过的纬圆为： 又 （3） 从（1）——（3）消去，得到： 此即为所求旋转面的方程。 当时，旋转面为圆柱面（以轴为轴）； 当时，旋转面为圆锥面（以轴为轴，顶点在原点）； 当时，旋转面变为轴； 当时，旋转面为单叶旋转双曲面。 3、已知曲线的参数方程为，将曲线绕轴旋转，求旋转曲面的参数方程。 解：如图，设为上任一点，则对经过的纬圆上任一点，令在面上的射影为 令，则， 而 而 此即为旋转面的矢量式参数方程，为参数。 其坐标式参数方程为： §4.4椭球面 1、做出平面与椭球面的交线的图形。 解：平面与椭球面的交线为： ，即 ——椭 图形为 2、设动点与点的距离