解直角角形.docVIP

4.3解直角三角形 【知识与技能】 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 【过程与方法】 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 【情感态度】 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【教学重点】 直角三角形的解法． 【教学难点】 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 一、情景导入，初步认知 1.什么是锐角三角函数？ 2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值？ 【教学说明】通过复习，使学生便于应用． 二、思考探究，获取新知 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边、角之间的关系： sinA=∠A的对边/斜边 cosA=∠A的邻边/斜边 tanA=∠A的对边/∠A的邻边 (2)三边之间的关系： a2+b2=c2 (勾股定理) (3)锐角之间的关系： ∠A+∠B=90°． 3.做一做：在直角三角形ABC中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？ 4.做一做：在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？ 5.想一想：在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？ 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5.求∠B、b、c. 解：∵∠B=90°-∠A=60°， 又∵tanB=b/a， ∴b=a·tanB=5·tan60°=5. ∵sinA=a/c， ∴c=a/sinA=5/sin30°=10. 【归纳结论】像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. 7.在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边. 【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P122例2 . 2.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝ 8，∠A＝60°，求∠B、a、b． 解：a＝csin60°＝8·/2＝12， b＝ccos60°＝8·1/2＝4， ∠B＝30°. 3.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3， ∠A＝30°，求∠B、b、c. 解：∠B＝90°－30°＝ 60°， b＝atanB＝3·3＝92， . 4.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝-2，a＝－1 ， 求∠A、∠B、 b. 5.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝2，求 ∠A、∠B、c. 解：由于 tanA＝ab，所以 则∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°，且有c＝2b＝2×2＝4. 6.在直角三角形ABC中，锐角A为30°，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长． 解：由已知可得△BCD 是含30°的直角三角形， 所以CD＝1/2BD＝1/2× 8＝4 （cm）， △ADB 是等腰三角形， 所以AD＝BD＝8（cm）， 则有 AC＝8＋4＝12（cm）， BC＝ACcot60°＝ 12×33=43（cm）， AB＝(43)2+122=48+144=83(cm). 7.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为多少？ 分析：先根据图形翻折变换的性质得出BC=BD，∠BDE=∠C=90°，再根据AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE=x，则CE=6-x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长. 解：∵△BDE是由△BCE翻折而成， ∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°， ∵AD=BD， ∴AB=2BC，AE=BE， ∴∠A=30°， 在Rt△ABC中， ∵AC=6， ， 设BE=x，则CE=6-x， 在Rt△BCE中， ∵BC=2，BE=x，CE=6-x，BE2=CE2+BC2, ∴x2=（6-x）2+（2）2，解得x=4． 即BE=4． 【教学说明】解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，培养学生熟练解直角三角形和运算的能力． 四、师生互