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解线性方程组的迭代法_
第3章 解线性方程组的迭代法
§1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法
(I)迭代概念
(1) , ,
, , ,
M非奇异
如果令 ,那么上式写成
(2) 此方程组等价于
任给,
(3)
由(3)可以确定,当,即
时,有
同样满足
定义 式(3) 称为求解 (1)
的简单形式迭代法,B称为迭代矩阵。
(II)Jacobi迭代法
写成分量形式有
假定 ,那么有
迭代法为任给
即:
上式迭代方法称为Jacobi迭代
例1.1用Jacobi迭代法解方程组
解 Jacobi迭代方法为
取
方程组 的准确解为。
若取 那么 。可取
为方程组的近似解。
为进行收敛性分析,把迭代方法写成向量形式。
,
称为Jacobi迭代的迭代矩阵
(III)Gauss-Seidel迭代法
Jacobi迭代有
可以看出,当计算时,已经计算
出来了,一般可以认为要比更接近于。由此可
以设想把已经计算出来的分量在计算公式中立刻应用,这样
就有
这个迭代公式称为Gauss-Seidel迭代公式
例1.2
取
可见,Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法“好”
把Gauss-Seidel迭代方法写成
令 称为Gauss-Seidel迭代的迭代矩
阵,
例1.3 用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代法解
此方程组有唯一解
Jacobi
事实上,
Gauss-Seidel:
§2 迭代方法收敛性
(I)向量序列和矩阵序列的极限
中向量序列 , 简单记
为 。同样,中序列
定义2.1 设 为上的向量范数。如果存在
满足
那么称收敛于,记
由于范数等价性,所以收敛性与所选择范数无关。
定义2.1 设为上矩阵范数,如果存在满足
那么称收敛于A,记为
收敛性与所择范数无关。
定理2.1 充分必要条件是
证:必要性。对任一种矩阵算子范数有
充分性, 取 ,其第个分量为1,其它分量为
零的向量。那么表示的第列各元素
极限为零,取 表示的全部元素极限为零。
定理2.2 设 , 那么下面三个命题等价
(1)
(2)
(3)至少存在一种从属的矩阵范数,使。
证明 用反证法:设B有一特征值,
。那么存在特征向量,
所以当,不收敛到零向量。
根据定理2.1,不收敛到零矩阵,矛盾于(1)。
对任,存在一种从属的矩阵范数使
由(2),,适当选择,使
从而有
从而有
(II)迭代法的收敛性
,A非奇异, 满足
(1)
等价
(2)
迭代公式
(3)
定义2.3 由迭代公式(3)产生的序列 满足
那么称迭代法(3)是收敛的。
设 为(2) 的解,即
由(3)减去上式有
其中
由此可以递推得
其中与无关,所以迭代法(3)收敛相当于
定理2.3 下面三个命题等价
迭代法 收敛
至少存在一种从属的矩阵范数,
使得。
证明:命题(1)等价于
根据定理2.1 这条件等价于。由定理2.2,
此定理证得最常用的定理叙述如下:
定理2.4 迭代法 ;
对任 收敛的充分必要条件是 。
实际判别一个迭代法是否收敛,条件 较难
验证。但 可以用B的元素来表示,所以用
来作为收敛的充分条件较为方便。
例子2.4 其中
试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程
组的收敛性
解
Jacobi迭代收敛
Gauss-Seidel迭代不收敛。
例 2.5 其中
试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组的
收敛性
解
, Jacobi迭代不收敛
。 Gauss-Seidel迭代收敛
例2.6 设方程组
写出解
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