解线性方程组的迭代法_.docVIP

第3章 解线性方程组的迭代法 §1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 （I）迭代概念 （1） ， ， ， ， ， M非奇异 如果令 ，那么上式写成 （2） 此方程组等价于 任给， （3） 由（3）可以确定，当，即 时，有 同样满足 定义 式（3） 称为求解 （1） 的简单形式迭代法，B称为迭代矩阵。 （II）Jacobi迭代法 写成分量形式有 假定 ，那么有 迭代法为任给 即： 上式迭代方法称为Jacobi迭代 例1.1用Jacobi迭代法解方程组 解 Jacobi迭代方法为 取 方程组 的准确解为。 若取 那么 。可取 为方程组的近似解。 为进行收敛性分析，把迭代方法写成向量形式。 ， 称为Jacobi迭代的迭代矩阵 （III）Gauss-Seidel迭代法 Jacobi迭代有 可以看出，当计算时，已经计算 出来了，一般可以认为要比更接近于。由此可 以设想把已经计算出来的分量在计算公式中立刻应用，这样 就有 这个迭代公式称为Gauss-Seidel迭代公式 例1.2 取 可见，Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法“好” 把Gauss-Seidel迭代方法写成 令 称为Gauss-Seidel迭代的迭代矩 阵， 例1.3 用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代法解 此方程组有唯一解 Jacobi 事实上， Gauss-Seidel: §2 迭代方法收敛性 （I）向量序列和矩阵序列的极限 中向量序列 ， 简单记 为 。同样，中序列 定义2.1 设 为上的向量范数。如果存在 满足 那么称收敛于，记 由于范数等价性，所以收敛性与所选择范数无关。 定义2.1 设为上矩阵范数，如果存在满足 那么称收敛于A，记为 收敛性与所择范数无关。 定理2.1 充分必要条件是 证：必要性。对任一种矩阵算子范数有 充分性， 取 ，其第个分量为1，其它分量为 零的向量。那么表示的第列各元素 极限为零，取 表示的全部元素极限为零。 定理2.2 设 ， 那么下面三个命题等价 （1） （2） （3）至少存在一种从属的矩阵范数，使。 证明 用反证法：设B有一特征值， 。那么存在特征向量， 所以当，不收敛到零向量。 根据定理2.1，不收敛到零矩阵，矛盾于（1）。 对任，存在一种从属的矩阵范数使 由（2），，适当选择，使 从而有 从而有 （II）迭代法的收敛性 ，A非奇异， 满足 （1） 等价 （2） 迭代公式 （3） 定义2.3 由迭代公式（3）产生的序列 满足 那么称迭代法（3）是收敛的。 设 为（2） 的解，即 由（3）减去上式有 其中 由此可以递推得 其中与无关，所以迭代法（3）收敛相当于 定理2.3 下面三个命题等价 迭代法 收敛 至少存在一种从属的矩阵范数， 使得。 证明：命题（1）等价于 根据定理2.1 这条件等价于。由定理2.2， 此定理证得最常用的定理叙述如下： 定理2.4 迭代法 ； 对任 收敛的充分必要条件是 。 实际判别一个迭代法是否收敛，条件 较难 验证。但 可以用B的元素来表示，所以用 来作为收敛的充分条件较为方便。 例子2.4 其中 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程 组的收敛性 解 Jacobi迭代收敛 Gauss-Seidel迭代不收敛。 例 2.5 其中 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组的 收敛性 解 ， Jacobi迭代不收敛 。 Gauss-Seidel迭代收敛 例2.6 设方程组 写出解