第55课时空间点、直线、平面之间的位置关系.doc

第3课时 直线与平面的位置关系(2) 一、知识梳理 1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 2. 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 3. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 性质定理：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 二、课本习题自测 1. (必修2P40练习4改编)若直线l与平面α不垂直，则在平面α内与直线l垂直的直线有________条． 2. (原创)已知A、B、C是不共线的三点，直线m垂直于直线AB和AC，直线n垂直于直线BC和AC，则直线m，n的位置关系是________． 3. ( 必修2P40习题5改编)下列命题：① 一条直线在平面内的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行．其中真命题的个数是________． 4. (必修2P42习题9改编)如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A、B的任一点，则图中直角三角形的个数为________ 5. (必修2P42习题11、16改编)P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影． (1) 若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________心； (2) 若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的________心； (3) 若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心． 三、典型例习题 题型1　直线与平面垂直的判定 例1　(2013·常州期末调研)如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA、PB的中点．求证： (1) MN∥平面PCD； (2) 四边形MNCD是直角梯形； (3) DN⊥平面PCB. 变式(2013·南京调研)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A＝AC，D、E、F分别为线段AC、A1A、C1B的中点． (1) 证明：EF∥平面ABC； (2) 证明：C1E⊥平面BDE. 题型2　直线与平面垂直性质的应用 例2　已知如图①所示，矩形纸片AA′A1′A1，点B、C、B1、C1分别为AA′、A1A1′的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成如图②形状(正三棱柱)，若面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1. 　　　 (图①) (图②) (2013·泰州期末)在三棱锥SABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝AC＝BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE＝3DE，点M是线段SD上一点， (1) 求证：BC⊥AM； (2) 若AM⊥平面SBC，求证：EM∥平面ABS. 题型3　直线与平面垂直的探索题 例3　在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1. (1) 若P是CC1上任一点，求证：AP不可能与平面BCC1B1垂直； (2) 试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1. 在。正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点． (1) 求证：AB1⊥BF； (2) 求证：AE⊥BF； (3) 棱CC1上是否存在点F，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由． 四、反馈练习 1. (2013·苏锡常镇调研)已知l，m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题： ① 若lβ，且α⊥β，则l⊥α； ② 若l⊥β，且α∥β，则l⊥α； ③ 若l⊥β，且α⊥β，则l∥α； ④ 若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α. 则所有正确的命题是________．(填序号) 2. (2013·青岛模拟改)如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C、D、E均异于A、B)，则△ACD的形状是________． 3. 已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是________．(填序号) ① 存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直； ② 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直； ③ 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直； ④