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计数原理综合检测
第一章 计数原理 综合检测
时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知C-C=C(n∈N*),则n等于( )
A.14 B.12
C.13 D.15
[答案] A
[解析] 因为C+C=C,所以C=C.
∴7+8=n+1,∴n=14,故选A.
2.设f(x)=(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1,则f(x)等于( )
A.(2x+2)5 B.2x5
C.(2x-1)5 D.(2x)5
[答案] D
[解析] f(x)=C(2x+1)5(-1)0+C(2x+1)4(-1)1+C(2x+1)3·(-1)2+C(2x+1)2(-1)3+C(2x+1)-1·(-1)4+C(2x+1)0(-1)5=[(2x+1)-1]5=(2x)5.
3.(2010·济南高二期末)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( )
A.18 B.24
C.30 D.36
[答案] C
[解析] 本题主要考查排列组合的知识.
不同分法的种数为CA-A=30.
4.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),若a0+a1+…+an=30,则n等于( )
A.5 B.3
C.4 D.7
[答案] C
[解析] 令x=1得a0+a1+…+an=2+22+…+2n=30得n=4.
5.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有( )
A.20种 B.30种
C.40种 D.60种
[答案] A
[解析] 由题意,从5天中选出3天安排3位志愿者的方法数为C=10(种),甲安排在另外两位前面,故另两位有两种安排方法,根据分步乘法计数原理,不同的安排方法数共有20种,故选A.
6.(2010·全国Ⅱ理,6)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( )
A.12种 B.18种
C.36种 D.54种
[答案] B
[解析] 把标号为1,2的卡片作为一个整体,放入同一信封有C种放法,然后将剩下的4个卡片放入另外两个信封中,有CC种方法,所以共有CCC=18种方法.
7.某科技小组有6名同学,现从中选出3人去参观展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则小组中的女生数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
[答案] A
[解析] 由题意可用排除法,设有女生x人,则有男生6-x人,于是有C-C=16,即(6-x)(5-x)(4-x)=24,将各选项逐个代入验证可得x=2.
8.(2009·陕西·理9)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A.300 B.216
C.180 D.162
[答案] C
[解析] 本小题主要考查排列组合的基础知识.
由题意知可分为两类,
(1)选“0”,共有CCCA=108,
(2)不选“0”,共有CA=72,
∴由分类加法计数原理得72+108=180,故选C.
9.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有( )
A.252种 B.112种
C.20种 D.56种
[答案] B
[解析] 每个宿舍至少2名学生,故甲宿舍安排的人数可以为2人、3人、4人、5人,甲宿舍安排好后,乙宿舍随之确定.
∴有C+C+C+C=112种.
10.从集合{1,2,3,…,10}中,选出由5个数组成的子集,使得这5个数中任何两个数的和不等于11,则这样的的子集共有( )
A.10个 B.16个
C.20个 D.32个
[答案] D
[解析] (1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6).CCCCC=32.
11.(2010·全国Ⅰ理,6)某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )
A.30种 B.35种 C.42种 D.48种
[答案] A
[解析] 可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有CC种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有CC种
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