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计算机数学基础函数插值
《计算机数学基础(2)》辅导)
第11章 函数插值与最小二乘拟合(2002级(秋季)用) 中央电大 冯 泰
第11章 函数插值与最小二乘拟合
一、重点内容
(函数插值
已知函数f(x)的函数值yk=f(xk),k=0,1,2,…,n.构造一个多项式P(x),使得P(xk)=yk.f(x)(P(x).P(x)称插值多项式,f(x)是被插函数,xk是插值节点.误差R(x)=f(x)-P(x).
(拉格朗日插值多项式
用n次多项式
Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)=
逼近函数f(x),即f(x)(Pn(x),且满足 Pn(xk)=yk(k=0,1,2…,n).其中基函数
(k=0,1,2,…,n)
当n=1时,线性插值 P1(x)=y0 l0(x)+y1l1(x)
其中基函数 ,.
当n=2时,就是二次插值,.二次多项式P2(x)=yk-1lk-1+yklk+yk+1lk+1
其中基函数
拉格朗日插值多项式的余项为
其中,
注意:过n+1个互异节点,所得插值多项式应该是次数不超过n的多项式.
(均差与牛顿插值多项式
函数值之差与自变量之差的商就是均差.
一阶均差
二阶均差
… … … …
n阶均差
均差有两条常用性质:
均差用函数值yk的线性组合表示;即
f(x0,x1,x2,…,xn)=
(2)均差与插值节点顺序无关(对称性).
n阶均差与导数的关系为:
以均差为系数构造多项式,就是牛顿插值多项式,为
Nn(x)= f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)
+…+f(x0,x1,x2,…,xn)(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)
牛顿插值多项式的余项为
Rn(x)=f(x)-Nn(x)
=f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)(x-xn)
=
(分段线性插值
用分点a=x0x1…xn=b将区间[a,b]分成n个子区间[xk, xk+1](k=0,1,…,n-1).在子区间[xk, xk+1]上用一次多项式Qk(x)近似函数y=f(x),将Qk(x)(k=0,1,…,n)组合在一起,得到[a,b]上的折线形式的函数P(x),它满足:(1)P(x)在[a ,b]上连续;(2) P(xk)=yk(k=0,1,2,…,n);(3)P(x)在子区间[xk ,xk+1]上是线性函数.P(x)为
分段线性插值函数:
其中lk(x)(k=0,1,2,…,n)是分段线性插值基函数,具体写出为
li(x)=
ln(x)=
(三次样条插值函数 用分点a=x0x1…xn=b将区间[a,b]分成n个子区间[xk, xk+1](k=0,1,…,n-1).构造三次样条函数S(x):(1) 在区间[a,b]上有二阶连续导数;(2)满足S(xk)=yk(k=0,1,…,n);(3)在子区间[xk, xk+1]上是三次多项式.
(最小二乘法
用((x)拟合n对数据(xk,yk) (k=1,2,…,n),使得误差平方和
最小,求((x)的方法,称为最小二乘法.
(1) 直线拟合 若,a0,a1满足法方程组
即a0, a1是法方程组的解.
(2) 二次多项式拟合 若满足法方程组
即a0, a1,a2是法方程组的解..
二、实例
例1 已知数据表
xk 10 11 12 13 f(xk) 2.302 6 2.397 9 2.484 9 2.564 9 试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数).
解 因为11.75更接近12,故应取11,12,13三点作二次插值.先作插值基函数.
已知x0=11,y0=2.397 9,x1=12,y0=2.484 9 ,x2=13,y2=2.564 9
P2(x)=
f(11.75)(P2(11.75)=
=2.463 8
注:若用线性插值,因为所求点x=11.75在11与12之间,故应取x=11,x=12作线性插值合适.
在作函数插值时,应根据要求,使所求位于所取的中央为好,任意取点一般近似的效果差些.
例2 设是
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