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计算物理次作业
计算物理第四次作业
——用不同插值方法重构方程
问题描述:
在下图中所示的函数f(x)上[-5,5]的区间上均匀取十六个数据点(即N=15)作为样点,现在我们反过来利用这十六个数据样点,运用不同的插值方法来找到函数f(x)的近似,重新描述原函数的变化规律。
主要算法与公式:
我们此处采用的插值方法主要有:Lagrange Interpolation、Newton Interpretation和Cubic Spline三种方法;下面,对三种插值方法作详细叙述:
1.Lagrange Interpolation.
这种插值方法的近似函数公式如下:
而基函数的形式如下:
所以基函数表达式可以由已知的数据点的横坐标确定,系数等于各个纵坐标的值。
2.Newton Interpretation.
首先,为方便后面介绍该插值方法的公式,我们引入差商的概念,它的定义如下:
使用牛顿插值时,近似函数形式为
计算差商,确定系数,就能近似描述原函数变化规律。
3.Cubic Spline.
三次样条插值的近似函数S(x)满足以下条件:
且假设一阶导数已知,
则插值公式为,
此处我们再给定2个边界条件:
有了这些条件,我们可以通过下面线性方程组计算出其它一阶导数,
进而得到S(x)表达式,对函数变化规律近似描述。
流程图:
源代码:
1.Lagrange Interpretation Newton Interpretation.
#includeiostream
#includecmath
#includeiomanip
#include fstream
using namespace std;
void main()
{
//ofstream cout(GM.txt,ios::out);
double X[16],Y[16],C[121],B[121],f[16][16];
for(int i=0;i16;i++)
{
double m=i;
X[i]=-5+2*m/3;
Y[i]=1/(1+pow(X[i],2));
f[i][0]=Y[i];
}//数组的初始化;
for(int v=0;v121;v++)
{
double m=v;
B[v]=0;
double x=-5+m/12;
for(int i=0;i16;i++)
{
double li=1;
for(int j=0;j16;j++)
{
if(j==i)
continue;
li=li*(x-X[j])/(X[i]-X[j]);
}
B[v]=B[v]+Y[i]*li;
}
}//得到一个组数;
for(int i=0;i121;i++)
{
double m=i;
coutsetiosflags(ios::fixed)setiosflags(ios::right)setprecision(6);
coutsetw(10)-5+m/12setw(10)B[i]endl;
}//输出Lagrange插值结果;
for(int i=1;i16;i++)
{
for(int j=0;j16-i;j++)
{
f[j+i][i]=(f[j+i][i-1]-f[j+i-1][i-1])/(X[j+i]-X[j]);
}
}//计算差商;
for(int v=0;v121;v++)
{
double m=v;
C[v]=0;
double x=-5+m/12;
for(int i=0;i16;i++)
{
double li=1;
for(int j=0;ji;j++)
{
li=li*(x-X[j]);
}
C[v]=C[v]+f[i][i]*li;
}
}//得到另外一个组数;
coutendl;
coutendl;
for(int i=0;i121;i++)
{
double m=i;
coutsetiosflags(ios::fixed)setiosflags(ios::right)setprecision(6);
coutsetw(10)-5+m/12setw(10)C[i]endl;
}//输出Newton插值结果;
}
2.Cubic Spline Curve.
#includeiostream
#includecmath
#includeiomanip
#include fstream
using namespac
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