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计算物理第四次作业 ——用不同插值方法重构方程 问题描述： 在下图中所示的函数f（x）上[-5,5]的区间上均匀取十六个数据点（即N=15）作为样点，现在我们反过来利用这十六个数据样点，运用不同的插值方法来找到函数f（x）的近似，重新描述原函数的变化规律。 主要算法与公式： 我们此处采用的插值方法主要有：Lagrange Interpolation、Newton Interpretation和Cubic Spline三种方法；下面，对三种插值方法作详细叙述: 1.Lagrange Interpolation. 这种插值方法的近似函数公式如下： 而基函数的形式如下： 所以基函数表达式可以由已知的数据点的横坐标确定，系数等于各个纵坐标的值。 2.Newton Interpretation. 首先，为方便后面介绍该插值方法的公式，我们引入差商的概念，它的定义如下： 使用牛顿插值时，近似函数形式为 计算差商，确定系数，就能近似描述原函数变化规律。 3.Cubic Spline. 三次样条插值的近似函数S(x)满足以下条件： 且假设一阶导数已知， 则插值公式为， 此处我们再给定2个边界条件： 有了这些条件，我们可以通过下面线性方程组计算出其它一阶导数， 进而得到S(x)表达式，对函数变化规律近似描述。 流程图： 源代码： 1.Lagrange Interpretation Newton Interpretation. #includeiostream #includecmath #includeiomanip #include fstream using namespace std; void main() { //ofstream cout(GM.txt,ios::out); double X[16],Y[16],C[121],B[121],f[16][16]; for(int i=0;i16;i++) { double m=i; X[i]=-5+2*m/3; Y[i]=1/(1+pow(X[i],2)); f[i][0]=Y[i]; }//数组的初始化； for(int v=0;v121;v++) { double m=v; B[v]=0; double x=-5+m/12; for(int i=0;i16;i++) { double li=1; for(int j=0;j16;j++) { if(j==i) continue; li=li*(x-X[j])/(X[i]-X[j]); } B[v]=B[v]+Y[i]*li; } }//得到一个组数； for(int i=0;i121;i++) { double m=i; coutsetiosflags(ios::fixed)setiosflags(ios::right)setprecision(6); coutsetw(10)-5+m/12setw(10)B[i]endl; }//输出Lagrange插值结果; for(int i=1;i16;i++) { for(int j=0;j16-i;j++) { f[j+i][i]=(f[j+i][i-1]-f[j+i-1][i-1])/(X[j+i]-X[j]); } }//计算差商； for(int v=0;v121;v++) { double m=v; C[v]=0; double x=-5+m/12; for(int i=0;i16;i++) { double li=1; for(int j=0;ji;j++) { li=li*(x-X[j]); } C[v]=C[v]+f[i][i]*li; } }//得到另外一个组数； coutendl; coutendl; for(int i=0;i121;i++) { double m=i; coutsetiosflags(ios::fixed)setiosflags(ios::right)setprecision(6); coutsetw(10)-5+m/12setw(10)C[i]endl; }//输出Newton插值结果; } 2.Cubic Spline Curve. #includeiostream #includecmath #includeiomanip #include fstream using namespac