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计算结构动力学
第2章 分析动力学基础
2.1 基本概念
2.1.1 约束
对质点系各质点的位移和速度提供的限制,约束在数学上通过约束方程来表达。对于n个质点组成的系统,约束方程的一般形式为:
或简写为:
式中,、分别为质点的位置矢量和速度矢量,为时间,为约束方程的个数。
注:弹性支座不对位置和速度提供直接限制,不作为约束。
约束方程的分类:
几何约束和运动约束
几何约束:约束方程中不显含速度项,如:
运动约束:约束方程中显含速度项,如:
下图中,如果圆轮与地面之间无滑动,则其约束方程为:
定常约束和非定常约束
定常约束:约束方程中不显含时间,如:
非定常约束:约束方程中显含时间,如:
完整约束与非完整约束
完整约束:几何约束以及可积分的运动约束
非完整约束:不可积分的运动约束
方程可积分为,因此是完整约束。
单面约束与双面约束
单面约束:约束方程为不等式,如:
双面约束:约束方程为等式,如:
下图中,如果考虑到绳子可以缩短,则其约束方程为:,表现为不等式形式,就是一个单面约束。
一般分析力学的研究对象为:完整的双面约束,方程为:。
2.1.2 广义坐标与自由度
广义坐标:描述系统位置状态的独立参数,称为系统的广义坐标。
广义坐标的个数:
空间质点系:
平面质点系:
对于如图双连刚杆的平面两质点系统,约束方程为:
广义坐标个数为:,具体地可选择为:;;;;等。
如果系统的位移状态可以通过一组基函数来线性组合,如:,由于各系数相互独立,因此系数也是一种广义坐标。
例:简支梁的挠度曲线可表示为,为与基函数对应的广义坐标。
根据广义坐标的概念,设系统的广义坐标个数为,当选定系统的广义坐标后,系统的位置状态可以由全部广义坐标来表示,也即有:
,
自由度:某瞬时,系统独立运动的个数。自由度强调的是独立运动也即独立速度,广义坐标强调的是独立坐标(位移)。对于完整系统,自由度与广义坐标的个数相同;对于非完整系统,由于存在非完整约束,对独立速度的限制多于对独立坐标的限制,因此自由度数比广义坐标个数少。
2.1.3 力的功
对于力,设在微小时间间隔内力作用点的位移为,则该力做的功称为元功:
式中,为与的夹角。
经过一段路径,做的总功为:
对于力偶,设在微小时间间隔内物体在力偶作用下的转角为,则元功为:
转过一定角度,做的总功为:
力、力偶在单位时间内做的功称为功率:
2.1.4 有势力与势能
有势力:在作用点变化过程中,力做的功如果只与起止位置有关,而与中间路径无关,则这个力称为有势力,有势力所在的空间称为该有势力的势力场,如重力与重力场。
势能:在势力场中,物体从位置运动到任选的位置,有势力所作的功称为物体在位置相对于位置的势能,以表示:
位置的势能等于零,称为零势能位置(点、状态)。
势能是位置的函数,记为。有势力分量与势能具有如下关系:
,,
证明如下:
当具有微小变化变为时,势能的增量为:
因此有:
,,
当弹性体变形后,恢复变形到原始状态的过程中,弹性力会做功,做的功等于变形状态改变释放的变形能,只与前后变形状态有关,因此具有势能的性质。弹性体因变形而具有变性能为:
2.1.5 虚位移
虚位移:某瞬时,约束所容许的任意微小位移。
要点1:“某瞬时”意味着虚位移不考虑时间的变化,也即是虚位移无时间过程。
要点2:“约束所容许”表示不破坏约束,满足约束条件。
要点3:“微小位移”指位移小到只考虑一阶变化。
要点4:“任意”指无需考虑真实的力、速度和时间等真实运动因素,可以人为地设定。
要点5:对于一个系统,由于存在内部的约束联系,各位置点的虚位移不具有完全的任意性。
要点6:根据定义,独立虚位移的个数等于系统的自由度数。
概念辨析:
可能位移:考虑时间,但不考虑运动的原因,约束所容许的位移称为可能位移。
真实位移:同时考虑时间和运动的原因,约束所容许的位移称为真实位移,真实位移是可能位移中的一种。
可能位移和真实位移不具有“微小”性,因此可能位移不一定是虚位移。
设系统的广义坐标为,系统的位置状态可以由全部广义坐标表示为:
,
根据微积分的概念,任一质点的位移增量有如下关系:
略去上式中与时间有关的增量,将变为虚位移,则可得到质点的虚位移:
上式建立了任一点虚位移与广义坐标虚位移的关系。
由于各广义坐标是独立的,因此各广义坐标可以独立发生虚位移。当只有一个广义坐标有虚位移时,质点的虚位移为:
另外,根据约束方程也可建立虚位移之间的关系,方法如下:
对于约束方程,有:
例如:
有:
2.1.5 虚功与广义力
虚功:力在虚位移上所做的功称为虚功。
力系中各力作用点的虚位移为:
则总虚功为:
记:为与对应的广义力
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