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第2章 分析动力学基础 2.1 基本概念 2.1.1 约束 对质点系各质点的位移和速度提供的限制，约束在数学上通过约束方程来表达。对于n个质点组成的系统，约束方程的一般形式为： 或简写为： 式中，、分别为质点的位置矢量和速度矢量，为时间，为约束方程的个数。 注：弹性支座不对位置和速度提供直接限制，不作为约束。 约束方程的分类： 几何约束和运动约束 几何约束：约束方程中不显含速度项，如： 运动约束：约束方程中显含速度项，如： 下图中，如果圆轮与地面之间无滑动，则其约束方程为： 定常约束和非定常约束 定常约束：约束方程中不显含时间，如： 非定常约束：约束方程中显含时间，如： 完整约束与非完整约束 完整约束：几何约束以及可积分的运动约束 非完整约束：不可积分的运动约束 方程可积分为，因此是完整约束。 单面约束与双面约束 单面约束：约束方程为不等式，如： 双面约束：约束方程为等式，如： 下图中，如果考虑到绳子可以缩短，则其约束方程为：，表现为不等式形式，就是一个单面约束。 一般分析力学的研究对象为：完整的双面约束，方程为：。 2.1.2 广义坐标与自由度 广义坐标：描述系统位置状态的独立参数，称为系统的广义坐标。 广义坐标的个数： 空间质点系： 平面质点系： 对于如图双连刚杆的平面两质点系统，约束方程为： 广义坐标个数为：，具体地可选择为：；；；；等。 如果系统的位移状态可以通过一组基函数来线性组合，如：，由于各系数相互独立，因此系数也是一种广义坐标。 例：简支梁的挠度曲线可表示为，为与基函数对应的广义坐标。 根据广义坐标的概念，设系统的广义坐标个数为，当选定系统的广义坐标后，系统的位置状态可以由全部广义坐标来表示，也即有： ， 自由度：某瞬时，系统独立运动的个数。自由度强调的是独立运动也即独立速度，广义坐标强调的是独立坐标（位移）。对于完整系统，自由度与广义坐标的个数相同；对于非完整系统，由于存在非完整约束，对独立速度的限制多于对独立坐标的限制，因此自由度数比广义坐标个数少。 2.1.3 力的功 对于力，设在微小时间间隔内力作用点的位移为，则该力做的功称为元功： 式中，为与的夹角。 经过一段路径，做的总功为： 对于力偶，设在微小时间间隔内物体在力偶作用下的转角为，则元功为： 转过一定角度，做的总功为： 力、力偶在单位时间内做的功称为功率： 2.1.4 有势力与势能 有势力：在作用点变化过程中，力做的功如果只与起止位置有关，而与中间路径无关，则这个力称为有势力，有势力所在的空间称为该有势力的势力场，如重力与重力场。 势能：在势力场中，物体从位置运动到任选的位置，有势力所作的功称为物体在位置相对于位置的势能，以表示： 位置的势能等于零，称为零势能位置（点、状态）。 势能是位置的函数，记为。有势力分量与势能具有如下关系： ，， 证明如下： 当具有微小变化变为时，势能的增量为： 因此有： ，， 当弹性体变形后，恢复变形到原始状态的过程中，弹性力会做功，做的功等于变形状态改变释放的变形能，只与前后变形状态有关，因此具有势能的性质。弹性体因变形而具有变性能为： 2.1.5 虚位移 虚位移：某瞬时，约束所容许的任意微小位移。 要点1：“某瞬时”意味着虚位移不考虑时间的变化，也即是虚位移无时间过程。 要点2：“约束所容许”表示不破坏约束，满足约束条件。 要点3：“微小位移”指位移小到只考虑一阶变化。 要点4：“任意”指无需考虑真实的力、速度和时间等真实运动因素，可以人为地设定。 要点5：对于一个系统，由于存在内部的约束联系，各位置点的虚位移不具有完全的任意性。 要点6：根据定义，独立虚位移的个数等于系统的自由度数。 概念辨析： 可能位移：考虑时间，但不考虑运动的原因，约束所容许的位移称为可能位移。 真实位移：同时考虑时间和运动的原因，约束所容许的位移称为真实位移，真实位移是可能位移中的一种。 可能位移和真实位移不具有“微小”性，因此可能位移不一定是虚位移。 设系统的广义坐标为，系统的位置状态可以由全部广义坐标表示为： ， 根据微积分的概念，任一质点的位移增量有如下关系： 略去上式中与时间有关的增量，将变为虚位移，则可得到质点的虚位移： 上式建立了任一点虚位移与广义坐标虚位移的关系。 由于各广义坐标是独立的，因此各广义坐标可以独立发生虚位移。当只有一个广义坐标有虚位移时，质点的虚位移为： 另外，根据约束方程也可建立虚位移之间的关系，方法如下： 对于约束方程，有： 例如： 有： 2.1.5 虚功与广义力 虚功：力在虚位移上所做的功称为虚功。 力系中各力作用点的虚位移为： 则总虚功为： 记：为与对应的广义力