第四讲 不等式_313912.doc

第四讲 不 等 式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识． 一、一元二次不等式及其解法 1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式． 【例1】解不等式． 分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组． 解：原不等式可以化为：， 于是：或 所以，原不等式的解是． 说明：当把一元二次不等式化为的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法． 【例2】解下列不等式： (1) (2) 分析：要先将不等式化为的形式，通常使二次项系数为正数． 解：(1) 原不等式可化为：，即 于是： 所以原不等式的解是． (2) 原不等式可化为：，即 于是： 所以原不等式的解是． 2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)． 以二次函数为例： (1) 作出图象； (2) 根据图象容易看到，图象与轴的交点是，即当时，．就是说对应的一元二次方程的两实根是． (3) 当时，，对应图像位于轴的上方．就是说的解是． 　当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象． ①如果图象与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ． 那么(图1)： ②如果图象与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ． 那么(图2)： 无解 ③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图3)： 取一切实数 无解 如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解． 【例3】解下列不等式： (1) (2) (3) 解：(1) 不等式可化为 ∴ 不等式的解是 (2) 不等式可化为 ∴ 不等式的解是 (3) 不等式可化为． 【例4】已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围． 解：显然不合题意，于是： 【例5】已知关于的不等式的解为，求的值． 分析：对应的一元二次方程的根是和，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二次方程根与系数的关系可以求解． 解：由题意得： 说明：本例也可以根据方程有两根和，用代入法得：，，且注意，从而． 二、简单分式不等式的解法 【例6】解下列不等式： (1) (2) 分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数． 解：(1) 解法(一) 原不等式可化为： 解法(二) 原不等式可化为：． (2) ∵ 原不等式可化为： 【例7】解不等式 解：原不等式可化为： 说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 三、含有字母系数的一元二次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式． (1) 当时，不等式的解为：； (2) 当时，不等式的解为：； (3) 当时，不等式化为：； ① 若，则不等式的解是全体实数；② 若，则不等式无解． 【例8】求关于的不等式的解． 解：原不等式可化为： (1) 当时，，不等式的解为； (2) 当时，． ① 时，不等式的解为； ② 时，不等式的解为； ③ 时，不等式的解为全体实数． (3) 当时，不等式无解． 综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解． 【例9】已知关于的不等式的解为，求实数的值． 分析：将不等式整理成的形式，可以考虑只有当时，才有形如的解，从而令． 解：原不等式可化为：． 所以依题意：． A 组 1．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 2．解下列不等式： (1) (2) (3)